幾何朗蘭茲綱領

幾何朗蘭茲綱領(geometric Langlands program)是由數論中的朗蘭茲綱領陳述在代數曲線的函數域上而得到的一系列猜想與結論。它聯繫了代數幾何、表示論與量子場論，並對這些學科都產生了深遠的影響。在定義於有限域的代數曲線上證明朗蘭茲綱領的想法出自於德林費爾德對$\mathrm {GL} _{2}$情形的證明。洛朗·拉福格推廣了他的技巧，給出了$\mathrm {GL} _{n}$情形的證明，而後樊尚·拉福格給出了對於一般約化群$G$的自守形式的伽羅華分解。另一方面，柏林森與德林費爾德提出了特徵為零的代數曲線上的朗蘭茲綱領，並運用無窮維李代數的表示論構造了赫克特徵${\mathcal {D}}$-模。阿林金與蓋茨哥利根據他們的構造提出了範疇化幾何朗蘭茲綱領，將伽羅華表示與自守形式之間的關係解釋為兩個無窮範疇的等價關係。卡普斯汀與愛德華·威滕將黎曼曲面上的幾何朗蘭茲綱領解釋為量子場論的S-對偶性。

基本想法 

根據安德烈·韋伊的想法，數域與黎曼曲面的函數域之間有密切的關係，而定義於有限域$\mathbb {F} _{q}$上的代數曲線與兩者都有相似之處。在數域上困難的命題，往往可以在代數曲線、甚至黎曼曲面上陳述並給出證明。幾何朗蘭茲綱領可以視為數域上的朗蘭茲綱領在代數曲線上的表述。

若給定數域$F$和約化群$G$，則自守形式是$G(\mathbb {A} _{F})$上滿足特定性質的函數（這裏，$\mathbb {A} _{F}$指的是$F$的賦值向量環）。朗蘭茲綱領的目標是把自守形式聯繫到伽羅華群$\mathrm {Gal} ({\overline {F}}/F)$在對偶群${\check {G}}$中取值的表示。在定義於$\mathbb {F} _{q}$的代數曲線$X$上，（不分歧的）自守形式應當理解為定義於$G$-主叢構成的模空間$\mathrm {Bun} _{G}$的有理點上的${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-值函數，而伽羅華表示應當理解為$X$的平展基本群$\pi _{1}(X)$到${\check {G}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{l})$的映射。

有限域上的幾何朗蘭茲綱領

考慮定義在$\mathbb {F} _{q}$上的光滑、射影、幾何連通的代數曲線$X$。

幾何類域論

在$G=\mathrm {GL} _{1}$的情形下，朗蘭茲綱領等價於類域論。後者指的是一個拓撲群的同態，稱作阿廷互反律(Artin reciprocity)：

$\theta :\mathrm {Pic} (\mathbb {F} _{q})\rightarrow \pi _{1}(X)_{\mathrm {ab} }$。

這裏，$\pi _{1}(X)$是曲線$X$的平展基本群，$\pi _{1}(X)_{\mathrm {ab} }$是它的阿貝爾化。阿廷互反律在投射有限化後會成為同構。不嚴格地說，幾何類域論所表達的現象是$\pi _{1}(X)_{\mathrm {ab} }$內所有的關係都由$X$上的亞純函數給出。

我們現在解釋德利涅構造阿廷互反律的方法。首先，通過格羅滕迪克的faisceaux-fonctions對應，若給定概形$\mathrm {Pic}$上的一個平展${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-層，則在每一個$\mathbb {F} _{q}$點上，我們可以取弗羅貝尼烏斯自同構的跡而得到一個${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-值，這樣就能構造$\mathrm {Pic} (\mathbb {F} _{q})$上的一個函數。另一方面，一個映射$\pi _{1}(X)\rightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}_{l}^{\times }$可以視為$X$上的光滑${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-層$E$。所以，給定$E$，如果我們可以構造$\mathrm {Pic}$上的一個一階平展${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-層（且滿足一定性質），那麼通過取跡，我們就能構造$\theta$的拓撲對偶：

$\theta ^{*}:\mathrm {Hom} (\pi _{1}(X),{\overline {\mathbb {Q} }}_{l}^{\times })\rightarrow \mathrm {Hom} (\mathrm {Pic} (\mathbb {F} _{q}),{\overline {\mathbb {Q} }}_{l}^{\times })$。

這個方法幾何化了阿廷互反律。通過取$X$的交換積，並使用阿貝爾-雅可比映射的性質，德利涅解決了這個幾何問題。

一般約化群的情形

在一般約化群的情形下，現在最強的定理由樊尚·拉福格給出，它描述了尖點自守形式的向量空間按伽羅華參量的正交分解：

$C_{c}^{\mathrm {cusp} }(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})/K_{N}\Xi ;{\overline {\mathbb {Q} }}_{l}){\xrightarrow {\sim }}\bigoplus _{\sigma }{\mathfrak {H}}_{\sigma }$。

在$G=\mathrm {GL} _{n}$的情形下，上述正交分解由德林費爾德和洛朗·拉福格給出，並且構成了從尖點自守表示到伽羅華表示的一一對應。樊尚·拉福格的定理並不能用來證明朗蘭茲所預測的一一對應，所以可以被視為「自守-到-伽羅華」單方面的結果。

我們現在解釋上述分解中各項的含義。首先，$F$是代數曲線$X$的函數域，$\mathbb {A} _{F}$是它的賦值向量環。我們取$X$的一個有限子概形$N$；這是我們考慮的自守形式和伽羅華表示允許分歧的位置。假定$G$是定義在$F$上的分解可約群(split reductive group)，設$K_{N}$為$G(\mathbb {O} _{F})\rightarrow G({\mathcal {O}}_{N})$的核，$\Xi$為由$G$的中心(center)引出的拓撲群$Z(F)\backslash Z(\mathbb {A} _{F})$中的格(lattice)。左側的含義是定義在$G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})/K_{N}\Xi$上滿足尖點性質的${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-值緊支撐函數。右側的下標是伽羅華表示$\mathrm {Gal} ({\overline {F}}/F)\rightarrow {\check {G}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{l})$（滿足如下性質：定義在一個有限擴張$\mathbb {Q} _{l}\subset E$、連續、半單(semisimple)、且在$N$外非分歧）的共軛類。樊尚·拉福格的正交分解可以推廣到$G$不分解(non-split)的情形，以及元辛(metaplectic)的情形${\widetilde {G}}$。

在證明這個分解中，拉福格使用的主要工具是幾何佐武同構和德林費爾德的штука。他運用佐武同構構造了一個作用在自守形式上的交換代數${\mathcal {B}}$，其元素稱為遠足算符(excursion operator)。不嚴格地說，${\mathcal {B}}$可以被視為伽羅華表示所構成的模空間上的結構層，所以每個伽羅華表示都呈現於他們的共同特徵值；上述分解即是向量空間$C_{c}^{\mathrm {cusp} }(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})/K_{N}\Xi ;{\overline {\mathbb {Q} }}_{l})$關於${\mathcal {B}}$-作用的特徵分解。

$\ell$-進赫克特徵層

德利涅對幾何類域論的證明啟發了一個更強的「伽羅華-到-自守」的幾何問題：給定一個${\check {G}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{l})$-值的伽羅華表示$E$，是否能構造一個對應於$E$的、定義在代數棧$\mathrm {Bun} _{G}$上的${\overline {\mathbb {Q} }}_{l}$-層$\mathrm {Aut} _{E}$？為了表述這個對應關係，我們要求$\mathrm {Aut} _{E}$滿足以$E$為特徵值的赫克特徵條件。

在$G=\mathrm {GL} _{n}$的情形下，這個構造由弗蘭克爾-蓋茨哥利-維羅寧給出。它基於一個消滅猜想(vanishing conjecture)。在有限域的情形下，這個消滅猜想可以從洛朗·拉福格的工作中得出。2004年，蓋茨哥利給出了消滅猜想的單獨證明，從而將赫克特徵層的構造推廣到任意域的情形。

零特徵域上的幾何朗蘭茲綱領 

設$k$是一個特徵為零的代數閉域，並考慮定義在$k$上的光滑、射影代數曲線$X$。這一情形下的幾何朗蘭茲綱領與無窮維李代數的表示論和共形場論密切相關。在零特徵域的情形下，自守形式由代數棧$\mathrm {Bun} _{G}$上的${\mathcal {D}}$-模取代。因為弗洛貝尼烏斯同態的缺失，層與函數之間不再具有直接關係，所以零特徵域上的朗蘭茲綱領不能直接用來獲得「古典」信息。

希欽系統的量子化

希欽系統誕生于于微分幾何學家奈傑爾·希欽對希格斯場(Higgs field)的研究。他發現由希格斯場構成的模空間上有一個完全可積系統。在代數幾何的觀點下，希格斯場的模空間可以理解為$\mathrm {Bun} _{G}$的餘切空間$T^{*}\mathrm {Bun} _{G}$。這一空間具有射向一個向量概形$\mathrm {Hitch} _{G}$的映射：

$h:T^{*}\mathrm {Bun} _{G}\rightarrow \mathrm {Hitch} _{G}$。

而希欽系統由$\mathrm {Hitch} _{G}$上函數的拉回給出。柏林森與德林費爾德提出了這一可積系統的量子化。對於半單群$G$，他們證明了如下結論：若給定一個$X$上具有oper結構的局部系統${\mathcal {E}}$，則在$\mathrm {Bun} _{G}$上存在一個以${\mathcal {E}}$為特徵值的赫克特徵${\mathcal {D}}$-模${\mathcal {F}}$。

範疇化幾何朗蘭茲綱領

範疇化幾何朗蘭茲綱領(categorical geometric Langlands program)由阿林金與蓋茨哥利提出。它有兩個分支：局部與全局，且兩者都具有量子形變。全局的朗蘭茲綱領描述了兩個無窮範疇間的等價關係。設$G$為$k$上的約化群，${\check {G}}$為它的朗蘭茲對偶群。我們可以構造兩個代數棧：

• $G$-主叢構成的模空間 $\mathrm {Bun} _{G}$；
• ${\check {G}}$-局部系統構成的模空間 $\mathrm {LocSys} _{\check {G}}$。

範疇化幾何朗蘭茲綱領猜想如下的無窮範疇等價：

$\mathbb {L} _{G}:{\mathcal {D}}{\text{-}}\mathrm {Mod} (\mathrm {Bun} _{G}){\xrightarrow {\sim }}\mathrm {IndCoh} _{\mathrm {Nilp} }(\mathrm {LocSys} _{\check {G}})$。

這裏，自守形式方面的範疇由$\mathrm {Bun} _{G}$上的${\mathcal {D}}$-模構成，而伽羅華方面的範疇需要一些額外的解釋。首先，$\mathrm {IndCoh} (Y)$指的是一個代數棧$Y$上的歸納凝聚層。若$Y$是擬光滑的，則它具有一個奇點棧$\mathrm {Sing} (Y)$，並且任意一個$Y$上的歸納凝聚層${\mathcal {F}}$都有一個奇支撐$\mathrm {SingSupp} ({\mathcal {F}})$，是$\mathrm {Sing} (Y)$上的一個錐形閉子集。阿林金與蓋茨哥利證明$\mathrm {LocSys} _{\check {G}}$是擬光滑的，並且描述了$\mathrm {Sing} (\mathrm {LocSys} _{\check {G}})$中的一個閉子集$\mathrm {Nilp}$，稱為全局冪零錐(global nilpotent cone)。在上述等價中，伽羅華方面的範疇$\mathrm {IndCoh} _{\mathrm {Nilp} }(\mathrm {LocSys} _{\check {G}})$指的是$\mathrm {IndCoh} (\mathrm {LocSys} _{\check {G}})$中由奇支撐屬於$\mathrm {Nilp}$的歸納凝聚層構成的完全子範疇。伽羅華方面冪零錐的出現可以理解為數論中亞瑟參量的幾何體現。上述無窮範疇間的等價可以用來實現赫克特徵${\mathcal {D}}$-模的構造；對於任意一個$X$上的${\check {G}}$-局部系統$E$，它對應於$\mathrm {LocSys} _{\check {G}}$上的一個skyscraper層，於是它在$\mathbb {L} _{G}$下的像即是以$E$為特徵值的赫克特徵${\mathcal {D}}$-模。

在$G=\mathrm {GL} _{1}$時，上述等價關係即是傅立葉-向井-洛蒙變換。在$G=\mathrm {GL} _{2}$的情形下，蓋茨哥利給出了上述等價關係的證明題綱。範疇化幾何朗蘭茲的研究在很大程度上需要依靠導出代數幾何的工具。

量子幾何朗蘭茲綱領

為了描述全局幾何朗蘭茲綱領的量子形變，需要引入帶旋${\mathcal {D}}$-模 (twisted D-module)的概念。對於一個光滑的代數簇$X$，一個帶旋${\mathcal {D}}$-算子是一個帶有$\mathbb {Z} _{\geq 0}$流 (filtration)的結合代數層，其關聯有次代數與$X$的切叢$TX$所生成的對稱代數作為泊松代數同構。該代數的模稱為帶旋${\mathcal {D}}$-模。這一定義可以拓張到任何光滑代數棧。 為了說明的簡便，在本節中我們限制$G$是一個單群，並引入以下記號：

• ${\mathfrak {g}}$是$G$所對應的李代數；
• $h^{\vee }$是${\mathfrak {g}}$的對偶考克斯特數(dual Coxeter number)；
• $r$是${\mathfrak {g}}$的帶數(lacing number)，亦即其登金圖中相鄰兩頂點間最大的邊數；
• 對於任何$c\in k$，令$[c]={\frac {c-h^{\vee }}{2h^{\vee }}}$。

在這種情況下，對於每一個$c\in k$（對應於${\mathfrak {g}}$所對應的仿射李代數的一個中心擴張），存在一個$\mathrm {Bun} _{G}$上的帶旋${\mathcal {D}}$-算子${\mathcal {D}}^{c}$，對應於${\mathcal {L}}_{\mathrm {det} }^{[c]}$到自身的微分算子，其中${\mathcal {L}}_{\mathrm {det} }$是$\mathrm {Bun} _{G}$上的自帶的行列式線叢。其對應的帶旋${\mathcal {D}}$-模範疇記作${\mathcal {D}}{\text{-}}\mathrm {Mod} ^{c}(\mathrm {Bun} _{G})$。

在柏林森與德林費爾德對量子化希欽系統的研究中，赫克特徵${\mathcal {D}}$-模自然處於的範疇是對應於臨界值(critical level) $c=0$（對應於$[c]=-{\frac {1}{2}}$）的${\mathcal {D}}$-模範疇，而該範疇與$[c]=0$的範疇（亦即上文中的${\mathcal {D}}{\text{-}}\mathrm {Mod} (\mathrm {Bun} _{G})$）等價。而另一方面，伽羅華側的對象$\mathrm {IndCoh} _{\mathrm {Nilp} }(\mathrm {LocSys} _{\check {G}})$的某種近似$\mathrm {QCoh} (\mathrm {LocSys} _{\check {G}})$與${\mathcal {D}}{\text{-}}\mathrm {Mod} ^{c}(\mathrm {Bun} _{\check {G}})$在$c\to \infty$時同構。這自然地引出幾何朗蘭茲綱領是否可以沿着$c$的方向形變的問題。量子全局幾何朗蘭茲綱領猜想如下的無窮範疇等價：

$\mathbb {L} _{G}^{c}:{\mathcal {D}}{\text{-}}\mathrm {Mod} ^{c}(\mathrm {Bun} _{G}){\xrightarrow {\sim }}{\mathcal {D}}{\text{-}}\mathrm {Mod} ^{-{\frac {1}{rc}}}(\mathrm {Bun} _{\check {G}})$。

這一猜想亦隱式地出現於卡普斯汀與威滕對於幾何朗蘭茲綱領的物理詮釋中。