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克萊姆法則

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線性代數
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克萊姆法則克拉瑪公式(英語:Cramer's rule / formula)是一個線性代數中的定理,用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆(1704年 - 1752年)的卓越使用而命名。在計算上,並非最有效率之法,因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過,這一定理在理論性方面十分有效。

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣向量的方程來表示:

其中的是一個方塊矩陣,而向量 是一個長度為n行向量(中國大陸為列向量)。 也一樣。

克拉瑪公式說明:如果是一個可逆矩陣 ),那麼方程(1)有解 ,其中

(1)

當中是列向量的第i行(行向量與列向量不一樣,解釋默認列向量)

當中是列向量取代了的第i列後得到的矩陣。為了方便,我們通常使用來表示,用來表示。所以等式(1)可以寫成為:

抽象方程

為一個環,就是一個包含的系數的矩陣。所以:

當中就是的行列式,以及就是單位矩陣

證明概要

對於元線性方程組

把系數矩陣 表示成行向量的形式

由於系數矩陣可逆,故方程組一定有解.

,即

考慮的值,利用行列式線性和交替性質,有

於是

例子

運用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程組。

已知:

使用矩陣來表示時就是:

當矩陣可逆時,x和y可以從克萊姆法則中得出:

以及

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知:

當中的矩陣表示為:

當矩陣可逆時,可以求出x、y和z:

、     以及  

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的問題時十分有用。

先考慮兩條等式。其中的u和v是需要考慮的變量,並且它們互不相關。我們可定義

找出一條等式適合是克萊姆法則的簡單應用。

首先,我們要計算的導數:

代入,可得出:

因為互不相關,所以的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成:

現在用克萊姆法則就可得到:

用兩個雅可比矩陣來表示的方程:

用類似的方法就可以找到以及

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理,當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺點

克拉瑪公式在電子計算機出現後,被認為是難以實際用於計算的。當使用克拉瑪公式計算一個階線性方程組時,所需乘法次數為 次。例如求解25階線性方程組時,總計乘法次數需要(即4.03×1026)次,若計算機每秒能計算100億次,所需時間約12.79億年。相比之下,高斯消元法只需3060次乘法,對計算機而言易如反掌。[1]

參考文獻

  1. ^ 張宏偉,金光日,施吉林,董波 (編). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955. 

外部連結