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偏微分方程數值方法

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偏微分方程數值方法是數值分析的一個分支，研究如何得到偏微分方程(PDE) 的數值解。 [1] [2]

一般來說，對於雙曲型方程、 [3]拋物型方程[4]或橢圓方程[5]都有專門的數值方法。 [6] [7]

方法概述

有限差分法

  在這種方法中，函數由它們在某些網格點處的值表示，並通過這些值的差分來近似導數。

有限元法

有限元法 (FEM)是一種數值技術，用於尋找微分方程邊值問題的近似解。它使用變分法，以最小化誤差函數和得到穩定的解。類似於連接許多短線可以逼近一個更大的圓的想法，FEM 是指通過在許多小的子區域（稱為有限元）上構建許多簡單的有限元方程以在更大的區域上逼近更複雜方程的一類方法。

將小區域上的方程聯立後，有限元法一般會得到一個大的代數方程組。

有限體積法

有限體積法是一種以代數方程的形式表示和計算偏微分方程的方法 [LeVeque, 2002;托羅，1999]。類似於有限差分法或有限元法，取值是在網格上的離散位置計算的。 「有限體積」是指網格上每個節點周圍的小體積，函數在這個節點的離散值被視為函數在這個小區域內的平均值。有限體積方法中，使用散度定理包含散度項的偏微分方程中的體積積分轉換為曲面積分。然後將這些項作為每個有限體積表面處的通量進行求值。因為進入給定體積的通量與離開相鄰體積的通量相同，所以這些方法是守恆的。有限體積法的另一個優點是它易於定製以使用於非結構化網格。該方法用於許多計算流體力學軟件包。

譜方法

譜方法（英語：Spectral method）是在應用數學和科學計算中用於對某些微分方程進行數值求解的技術，通常會涉及到使用快速傅立葉變換。這個想法是將微分方程的解寫為某些「基函數」的和（例如，在譜方法中常用的傅立葉級數，它是三角函數的和），然後選擇出最符合微分方程的係數。

譜方法和有限元方法密切相關並且建立在相同的思想之上；它們之間的主要區別在於譜方法使用在整個域上非零的基函數，而有限元方法使用僅在小子域上非零的基函數。換句話說，譜方法採用全局逼近，而有限元方法使用局部逼近。部分出於這個原因，譜方法具有出色的誤差特性，當解是光滑的時，所謂的「指數收斂」是最快的。然而，沒有已知的三維單區域的譜方法激波捕獲結果。 [8]在有限元社區，有限元的階非常高，或隨當網格參數 h 減小趨於零而增加的方法有時稱為譜元法。

無網格方法

無網格方法（英語：Meshfree methods）不需要連接模擬域數據點的網格。無網格方法可以模擬一些其他困難類型的問題，但需要額外的計算時間和編程工作。

區域分解方法

域分解方法（英語：Domain_decomposition_methods）通過將邊界值問題拆分為子域上的較小邊界值問題并迭代以協調相鄰子域之間的解決方案來解決邊界值問題。每個子域一個或幾個未知數的粗略問題用於進一步協調全局子域之間的解決方案。子域上的問題是獨立的，這使得域分解方法適用於並行計算。域分解方法通常用作Krylov 空間迭代方法的預處理子，例如共軛梯度方法或GMRES 。

多重網格方法

數值分析中的多重網格方法（英語：Multigrid method）（MG）是一組使用不同層次的離散化求解微分方程的算法。它們是稱為多解像度方法的一類技術的示例，在（但不限於）表現出多種行為尺度的問題中非常有用。例如，許多基本鬆弛方法對短波長和長波長分量表現出不同的收斂速度，這表明對這些不同尺度的處理方式不同，就像在多重網格的傅立葉分析方法中一樣。 [9] MG 方法可以用作求解器和預條件子。

比較

有限差分法通常被認為是最容易學習和使用的方法。有限元法和有限體積法廣泛應用於工程和計算流體動力學中，非常適用於複雜幾何體中的問題。如果解足夠光滑，譜方法通常是最精確的。

參見

參考文獻

  • LeVeque, Randall J. Numerical Methods for Conservation Laws. Basel: Birkhäuser Basel. 1992 [2021-11-15]. ISBN 9783764327231. 
  • Anderson, Dale A.; Pletcher, Richard H.; Tannehill, John C. Computational fluid mechanics and heat transfer. Series in computational and physical processes in mechanics and thermal sciences 3rd. Boca Raton: CRC Press, Taylor & Francis Group. 2013. ISBN 9781591690375. 
  1. ^ Pinder, George F. Numerical methods for solving partial differential equations : a comprehensive introduction for scientists and engineers. Hoboken, NJ. 2018. ISBN 978-1-119-31636-7. OCLC 1015215158. 
  2. ^ Rubinstein, Jacob; Pinchover, Yehuda (編), Numerical methods, An Introduction to Partial Differential Equations (Cambridge: Cambridge University Press), 2005: 309–336 [2021-11-15], ISBN 978-0-511-80122-8, doi:10.1017/cbo9780511801228.012, （原始內容存檔於2018-06-16） 
  3. ^ Hyperbolic partial differential equation, numerical methods - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. [2021-11-15]. （原始內容存檔於2022-04-07）. 
  4. ^ Parabolic partial differential equation, numerical methods - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. [2021-11-15]. （原始內容存檔於2021-11-15）. 
  5. ^ Elliptic partial differential equation, numerical methods - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. [2021-11-15]. （原始內容存檔於2021-11-15）. 
  6. ^ Evans, Gwynne. Numerical methods for partial differential equations. J. M. Blackledge, P. Yardley. London: Springer. 2000. ISBN 3-540-76125-X. OCLC 41572731. 
  7. ^ Grossmann, Christian. Numerical treatment of partial differential equations. Hans-Görg Roos, M. Stynes. Berlin: Springer. 2007. ISBN 978-3-540-71584-9. OCLC 191468303. 
  8. ^ pp 235, Spectral Methods （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）: evolution to complex geometries and applications to fluid dynamics, By Canuto, Hussaini, Quarteroni and Zang, Springer, 2007.
  9. ^ Roman Wienands; Wolfgang Joppich. Practical Fourier analysis for multigrid methods. CRC Press. 2005: 17 [2021-11-24]. ISBN 1-58488-492-4. （原始內容存檔於2022-04-02）. 

外部連結

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