提示:此條目的主題不是
數域,也不是全體
代數數構成的域。
代數數體是數學中代數數論的基本概念,數體的一類,有時也被簡稱為數體,指有理數體的有限擴張形成的擴張體[1][2]。任何代數數體都可以視作上的有限維向量空間。
對代數數體的研究,或者更一般地說,對有理數體的代數擴張的研究,是代數數論的中心主題。
定義
預備知識
代數數體是體的一類。體是裝備了兩個二元運算(通常稱之為「加法」、「乘法」)的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律,完全可逆,同時乘法對加法滿足分配律(詳細定義參見體)。體的一個重要的例子是有理數體。
- 體的擴張
體的擴張研究各類體之間的關係,最早的應用包括多項式方程一般求根公式問題等。在給定的體F中加入不屬於此體的元素(一般以集合S記錄),規定相互間的運算法則後,「最小的」將它們都包含在內的體[N 1]L稱為「F(添加S中元素得到)的擴張體」。稱F是L的子體。一般將「F到L的體擴張」記作F⊂L或L/F。
- 向量空間
另一個基礎概念是向量空間。向量空間,特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣(具體定義參見向量空間條目)。以某個體F為系數體的向量空間(通常稱作F上的向量空間或F-向量空間),其中的向量除了可以相加減,還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件,稱為空間的基。選定了空間的基以後,空間裏的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組:。其中的n是基中向量的個數,也稱為空間的維數。
- 有限擴張
設L是體F的一個擴張體。將L中的元素看作向量,以F作為系數體,可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的,就稱L是F的有限擴張。L作為F-向量空間的維數,稱為擴張的次數,記作[L : F]。
定義
若體L是有理數體的有限擴張,則稱之為代數數體[3]:3。
例子
最小最基本的代數數體是有理數體。因為自身是-向量空間,維數是1。因此是自身的體擴張,
高斯有理數(i為虛數單位)是數學家發現的第一個非平凡代數數體的例子,它是所有形同:
的數構成的集合。可以證明,是體,而且是-向量空間,以為基,空間維數是2。所以是的二次擴張,
給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數d,二次體在中添加 d的平方根而得的擴張體。與高斯有理數體類似,可以證明是-向量空間,以為基,空間維數是2,即
考慮多項式方程的n個複根,它們被稱做n次單位根,具體可以寫作:
在中添加得到的擴張體稱為n次分圓體,記作。可以證明是有限維-向量空間,維數為(是數論中的歐拉函數),即
實數體、複數體和p進數體都不是的有限擴張,因此都不是代數數體。任何有限體都不是的擴張體,因此也不是代數數體。
全體規矩數構成的體和全體代數數構成的體(有時也被簡稱為代數數體,與本文主題同名,但不是同一個概念)不是的有限擴張,因此都不是代數數體。
代數數體與代數數
代數數是指能夠成為某個有理數系數多項式(不是零多項式)的根的數。顯然所有的有理數都是代數數[N 2]。給定一個代數數體L,依定義,體擴張是有限擴張。設其次數為正整數m[N 3]。將L看作是m維-向量空間,在L中任意選一個不屬於的數z,它可以被看作是m維-向量空間中的一個(非零)向量。考慮以下的m + 1個向量:
它們都屬於L。根據向量空間的性質,它們是線性相關的。即存在不全為零的m + 1個有理數:,使得:
- .
考慮非零多項式,,即z是多項式的根。所以z是代數數。由上可知,任一代數數體的元素都是代數數。
代數整數
代數整數是指能夠成為某個首一整數系數多項式的根的數[3]:4。顯然代數整數是一種代數數。任何整數n都是一次整系數多項式X - n的根,因此是代數整數。給定代數數體F,F中所有代數整數構成一個環,稱作F中的(代數)整數環,也稱為F-整數環,記作。例如上的代數整數環就是,因此在代數數體研究中也被稱作「有理整數」(有理數體中的整數),以區別於其餘的代數整數。
代數數體F中的整數環與有不同的代數性質。不一定是唯一分解整環。舉例來說,設,F中的整數環是。都是中的「質數」[N 4]。正整數6,作為中的元素,它的質因數分解有兩種方式:
有理整數的唯一分解性質在不少代數數體的整數環中失效。這個事實說明了拉梅對費馬大定理的證明是錯誤的。為此庫默爾等引進了理想數來作為彌補,由此發展出理想理論[4]。代數數論中一個重要的事實是:的每個理想都可以唯一表示為質理想的乘積,即為戴德金整環。這種「理想的唯一素分解」可部分彌補「代數整數一般不能唯一質因子分解」的不足,在歷史上使代數數論發展起來[2]。
代數數體的基
整數基
設F為n次代數數體,F的整數基是任一由n個F-整數組成的集合:
使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這n個F-整數的整線性組合[N 5],即:
- ,使得
換句話說,整數基B是作為自由-模的基。給定F的一組整數基B,可以證明,所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合,即:
- ,使得
這說明B是F作為n維-向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數,故B名為整數基。此外可以證明,x是F-整數當且僅當所有都是有理整數。
乘冪基
設F為n次代數數體。作為n維-向量空間,F包含如下形式的基:
其中每個元素都是某個特定的數β的乘冪。根據體擴張理論中的本原元定理,這樣的β一定存在,稱為體擴張的本原元。如果β不僅是本原元,還是F-整數,那麼這時B也是整數基,稱作乘冪整數基,稱F為單衍體(monogenic field)。
參見
註釋
- ^ 「最小的」指所有同時包含F和S的體的交集。
- ^ 任意有理數q都是一次多項式X - q的根。
- ^ 此處假設這個體擴張不是平凡的,即L不是自身,也即是說假設m大於1。
- ^ 即不能表示成另兩個中的不等於1或-1的數的乘積,正式名稱為不可約元素或質元素。
- ^ 在不計順序的情況下。
參考來源
- Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997.1996, ISBN 978-0-8218-0429-2
- Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
- Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
- Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
- Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
- Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859
- Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196
- Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995