交錯八邊形鑲嵌

交錯八邊形鑲嵌
	龐加萊圓盤模型
類別	雙曲半正鑲嵌; 雙曲鑲嵌
對偶多面體	Order-4-3-3_t0 dual tiling
數學表示法
考克斯特符號; （英語：Coxeter-Dynkin diagram）	;
施萊夫利符號	{(4,3,3)}; s{(4,4,4)}
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	3 \| 3 4
組成與佈局
面的種類	三角形; 正方形
面的佈局; （英語：Face configuration）	V4.8.12
對稱性
對稱群	[(4,3,3)], (*433); [(4,4,4)]+, (444)
旋轉對稱群; （英語：Rotation_groups）	[(4,4,4)]+, (444)
特性
	點可遞
圖像
	; 凱萊-克萊因模型
	; Order-4-3-3_t0 dual tiling; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，交錯八邊形鑲嵌是一種半正雙曲面鑲嵌，由三角形和正方形組成，在施萊夫利符號中用{(4,3,3)}或h{8,3}表示。交錯八邊形鑲嵌是指正八邊形鑲嵌經過交錯變換產生的鑲嵌圖。

交錯八邊形鑲嵌也可以算是一種雙曲面上的三角形-正方形鑲嵌。

交錯八邊形鑲嵌具有[(4,3,3)], (*433)的對稱性，在約翰·康威的軌形符號中以433表示^[1]^[2]。

幾何

雖然每一條邊都是直線（曲面上的直線），但由於曲面不易製作或繪製，因此需要投影^{[註 1]}，然投影過程扭曲了直線成了曲線，因此要檢視其形狀可以透過平移^{[註 2]}所需要的點到龐加萊雙曲圓盤^{[註 3]}的中心來檢視其幾何結構^[3]，此時曲線會接近直線^{[註 4]}。

三角形在中心雙曲面直邊	邊在中心雙曲面直邊	頂點在中心雙曲面直邊

表面塗色

不同的表面塗色^{[註 5]}方式可以得到不同的對稱性，並代表着不同的幾何結構^[4]，例如：

一種顏色交錯正八邊形鑲嵌	二種顏色截半交錯八邊形鑲嵌	四種顏色扭稜八階正方形鑲嵌

對偶鑲嵌

在藝術中

圓極限III中包含了交錯八邊形鑲嵌的結構。圓極限III是一個M. C. Escher在1959年製作的木刻版畫作品，魚串就像從無限遠射出來的火箭^{[註 6]}，然後又再次降落回他們的出發地^{[註 7]}，並與邊界垂直^{[註 8]}。圖中白色曲線通過每一條魚的中間，劃分成正方形和三角形在交錯八邊形鑲嵌的圖案。然而，在交錯八邊形鑲嵌中，每個曲線都是雙曲面上的線段^{[註 9]}，而在艾雪的木刻中，曲線是超圓形的弧^[5]。

相關多面體及鑲嵌

交錯八邊形鑲嵌是一系列交錯三階正多邊形鑲嵌和多面體的其中之一，該系列只包含偶數邊的正多邊形，因為只有偶數邊形才可進行交錯變換，由於交錯變換會使邊數減半，例如本例正八邊形交錯變成正方形，所以正七邊形不能交錯，因為沒有正三點五邊形。

交錯2n邊形鑲嵌系列：
	球面鑲嵌	多面體	歐式鑲嵌	緊湊雙曲鑲嵌				仿緊空間	非緊空間
n	1	2	3	4	5	6		∞
2n邊形鑲嵌	{2,3}	{4,3}	{6,3}	{8,3}	{10,3}	{12,3}		{∞,3}	{iπ/λ,3}
交錯2n邊形鑲嵌	h{2,3}	h{4,3}	h{6,3}	h{8,3}	h{10,3}	h{12,3}	...	h{∞,3}	h{iπ/λ,3}

交錯八邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與交錯八邊形鑲嵌擁有相似的對稱性[(4,3,3)], (*433)或[(4,3,3)]⁺, (433)：

半正 (4,3,3) 鑲嵌
對稱群：[(4,3,3)], (*433)							[(4,3,3)]⁺, (433)




h{8,3} t₀{(4,3,3)} {(4,3,3)}	r{8,3} t_0,1{(4,3,3)} r{(3,4,3)}	h{8,3} t₁{(4,3,3)}]] {(3,3,4)}	h₂{8,3} t_1,2{(4,3,3)} r{(4,3,3)}	{3,8} t₂{(4,3,3)}] {(3,4,3)}	h₂{8,3} t_0,2{(4,3,3)} r{(3,3,4)}	t{3,8} t_0,1,2{(4,3,3)} t{(3,4,3)}	s{3,8} s{(3,4,3)}
半正對偶


V(3.4)³	V3.8.3.8	V(3.4)³	V3.6.4.6	V(3.3)⁴	V3.6.4.6	V6.6.8	V3.3.3.3.3.4

交錯八邊形鑲嵌也可以從八階正方形鑲嵌以考克斯特結構(4,4,4)透過截角操作或其他康威變換得到的半正鑲嵌，由於對應的鑲嵌是八階正方形鑲嵌，因此與八階正方形鑲嵌擁有相似的對稱性[(4,4,4)], (*444)或[(4,4,4)]⁺
(444)：

半正(4,4,4)鑲嵌
對稱群：[(4,4,4)], (*444)							[(4,4,4)]⁺ (444)	[(1⁺,4,4,4)] (*4242)	[(4⁺,4,4)] (4*22)



t₀{(4,4,4)}	t_0,1{(4,4,4)}	t₁{(4,4,4)}	t_1,2{(4,4,4)}	t₂{(4,4,4)}	t_0,2{(4,4,4)}	t_0,1,2{(4,4,4)}	s{(4,4,4)}	h{(4,4,4)}	hr{(4,4,4)}
半正對偶


V(4.4)⁴	V4.8.4.8	V(4.4)⁴	V4.8.4.8	V(4.4)⁴	V4.8.4.8	V8.8.8	V3.4.3.4.3.4	V8⁸	V(4,4)³

參見

註釋

^ 如同球面的地球的地形要在平面上需要地圖投影，而此處使用的龐加萊雙曲投影就如同地圖投影的方位投影。
^ 此處的平移應視為超平移，即雙曲平面上的平移。
^ 可以視為改變投影的點，有如改變地圖投影方位投影的投影地點，或是將整個幾何圖形在雙曲平面上平移。
^ 就如同地圖投影，投影中心附近幾乎不會被扭曲。
^ 表面塗色即在幾何體的每一個面上有規律地塗上不同或相同的顏色
^ strings of fish shoot up like rockets from infinitely far away
^ fall back again whence they came
^ the fish move "perpendicularly to the boundary"
^ 因為要將雙曲面投影在平面上，所以會使的直線被扭曲成曲線。

參考文獻

^ Conway, J. H., The orbifold notation for surface groups, Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 1990), London Math. Soc. Lecture Note Ser. 165, Cambridge: Cambridge Univ. Press: 438–447, 1992, MR 1200280, doi:10.1017/CBO9780511629259.038
^ Paper presented to the 8th International Conference on Geometry, Nahsholim (Israel), March 7–14, 1999.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
^ Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings)
^ Coxeter, H. S. M., The non-Euclidean symmetry of Escher's picture 'Circle Limit III', Leonardo, 1979, 12: 19–25, JSTOR 1574078 .

John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.
Douglas Dunham Department of Computer Science University of Minnesota, Duluth
Examples Based on Circle Limits III and IV （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2006:More 「Circle Limit III」 Patterns （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2007:A 「Circle Limit III」 Calculation （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2008:A 「Circle Limit III」 Backbone Arc Formula （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

[5] 如同球面的地球的地形要在平面上需要地圖投影，而此處使用的龐加萊雙曲投影就如同地圖投影的方位投影。

[6] 此處的平移應視為超平移，即雙曲平面上的平移。

[7] 可以視為改變投影的點，有如改變地圖投影方位投影的投影地點，或是將整個幾何圖形在雙曲平面上平移。

[9] 就如同地圖投影，投影中心附近幾乎不會被扭曲。

[10] 表面塗色即在幾何體的每一個面上有規律地塗上不同或相同的顏色

[12] strings of fish shoot up like rockets from infinitely far away

[13] whence they came

[14] the fish move "perpendicularly to the boundary"

[15] 因為要將雙曲面投影在平面上，所以會使的直線被扭曲成曲線。

[3] Conway, J. H., The orbifold notation for surface groups, Groups, Combinatorics & Geometry (Durham, 1990), London Math. Soc. Lecture Note Ser. 165, Cambridge: Cambridge Univ. Press: 438–447, 1992, MR 1200280, doi:10.1017/CBO9780511629259.038

[4] Paper presented to the 8th International Conference on Geometry, Nahsholim (Israel), March 7–14, 1999.

[8] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)

[11] Grünbaum, Branko ; and Shephard, G. C. Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings)

[cox79-16] Coxeter, H. S. M., The non-Euclidean symmetry of Escher's picture 'Circle Limit III', Leonardo, 1979, 12: 19–25, JSTOR 1574078 .

[15] John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)

[16] Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.

[17] Douglas Dunham Department of Computer Science University of Minnesota, Duluth

[18] Examples Based on Circle Limits III and IV （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2006:More 「Circle Limit III」 Patterns （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2007:A 「Circle Limit III」 Calculation （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, 2008:A 「Circle Limit III」 Backbone Arc Formula （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

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[註 1]

[註 2]

[註 3]

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[註 4]

[註 5]

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[註 6]

[註 7]

[註 8]

[註 9]

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