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交比

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數學上,複平面上四點的交比

這個定義可以連續延拓至整個黎曼球面,即複平面加上無窮遠點

一般來說,交比可以定義在射影直線(黎曼球面就是複射影直線)。在任何仿射坐標卡中,交比由上式給出。交比是射影幾何的不變量,就是說射影變換保持交比不變。 從前人們注意到如果四條直線穿過一點P,第五條直線L不穿過P,分別與四條直線交於四點,那麼在L上按序取四點的有向長度,所算出的交比是獨立於L。它是這四直線系的不變量。

四個複數的交比為實數當且唯當四點共線共圓

對稱

各著作對交比有不同定義,不過各定義只相異於某些坐標的置換。一般來說,根據點所給出的各種次序,交比可以取六個不同的值。因為四個坐標有24種排列,有些置換保持交比不變。實際上,任意兩對坐標對換保持交比:

運用這些對稱,交比就有6個可能值,由點的次序決定:

群論來說,對稱群S4以置換坐標來作用於交比上,這群作用的克萊因四元群(這是保持交比的群)。那麼有效對稱群是其商群,同構於S3

對某些λ值會有更強的對稱,交比的可能值就少於六個。這些λ值對應於S3對黎曼球面的作用的不動點(由以上六個函數給出);等價地,就是在置換群內有非平凡穩定子群的點。

第一個這樣的集合是{0, 1, ∞}。但若四點相異,交比不可能取這些值。這些值是當有一對坐標彼此趨近時的極限值:

第二個這樣的集點是{−1, 1/2, 2}。這情況古典上稱為「諧和交比」。最對稱的交比是當。這時交比只可能是這兩個值。

從變換出發

交比為黎曼球面的射影變換所保持,也稱為莫比烏斯變換

所謂它們保持交比就是指

作用於黎曼球面上的麥比烏斯變換群有一性質:任意3點集要映射到另外的3點集,都存在唯一的麥比烏斯變換。(這個群作用有3重傳遞性。)所以給出黎曼球面上4點,有唯一變換把其中3點映射到點0,1,和∞。第四點映射到的點,與原來四點的交比有關。

要看到這點,注意到

所以給出四點 可以找到唯一變換f作映射

就被映射到。換個角度看,若把交比看為的函數,交比是唯一的變換把點映射到

高等觀點

若四點走近,這理論便有了微分學的一面,從而引領至施瓦茨導數理論,還有更一般的射影聯絡理論。這些理論被應用在共形場論