亞純函數

在複分析中，一個複平面的開子集D上的亞純函數是一個在D上除一個或若干個孤點集合之外的區域全純的函數，且這些孤立點都是該函數的極點。

每個D上的亞純函數可以表達為兩個全純函數的比（其分母不恆為0）：極點也就是分母的零點。

Γ函數在整個複平面上亞純

直觀的講，一個亞純函數是兩個性質很好的（全純）函數的比。這樣的函數本身性質也很「好」，除了分式的分母為零的點，那時函數的值為無窮。

從代數的觀點來看，如果D是一個連通集，則亞純函數的集合是全純函數的整域的分式域。這和有理數$\mathbb {Q}$和整數$\mathbb {Z}$的關係類似。

例子

• 所有的有理函數如

$f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}$

都是在整個複平面上的亞純函數。

• 函數

$\tan z,\,\cot z,\,\sec z,\,\csc z$

都屬於亞純函數。又因為它們都不是有理函數，所以它們也被稱為超越亞純函數。

• 函數

$f(z)={\frac {e^{z}}{z}}$和$f(z)={\frac {\sin z}{(z-1)^{2}}}$

以及Γ函數和黎曼ζ函數都是在整個複平面上的亞純函數。

• 函數

$f(z)=e^{\frac {1}{z}}$

在除去原點：0的整個複平面上有定義。但是，0不是這個函數的一個極點，而是一個本性奇點。因此，這個函數只是在C\{0}上的亞純函數，而不是在整個複平面上的亞純函數。

• 函數$f(z)=\ln z$不是在整個複平面上的亞純函數，因為不能通過從複平面去除可數個點而讓它變成全純的。

性質

由於亞純函數的奇點是孤立點，它們至多有可數多個。極點的個數可以有無窮多個，例如函數：

$f(z)={\frac {1}{\sin z}}$

使用解析拓延來消去可去奇點後，亞純函數可以進行加減法和乘法的運算。當$g(z)$在D的連通部分上不恆為零時，還可以定義f/g。因此，當D連通時，所有的亞純函數構成一個域，為複數域的一個域擴張。

黎曼曲面上的亞純函數

在一個黎曼曲面上，每個點都擁有一個同構於複平面上的一個開子集的開鄰域。因此，在任意黎曼曲面上都可以定義亞純函數。

當D為整個黎曼球時，亞純函數域就是複平面上的單變量有理函數域，因為可以證明任意黎曼球上的亞純函數都是有理函數（這是所謂的GAGA原理的一個特例）。

參考

• Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.
• Stein. Complex Analysis.
• Ahlfors. Complex Analysis, 1966.