二次無理數

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

延伸

其他

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

數論上，二次無理數（quadratic irrational）是某些有理數系數的一元二次方程的根。若將所有系數乘以分母的最小公倍數，即可將系數轉換為整數。因此所有二次無理數都可以表示成 ${\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}$

其中

a,b,c,d

為整數，

c

d

不為零。

若c為正數，所得的是實二次無理數，若c為負數，所得的是複二次無理數。二次無理數是可數集。

1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，當且僅當此數為實二次無理數^[1]。例如 ${\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]$ 。

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外部連結