上閉集合
在數學中，上部集合（向上閉合集合）是給定偏序集合 (X,≤) 的子集 Y，使得對於所有元素 x 和 y，如果 x 小於等於 y，並且 x 是 Y 的一個元素，則 y 也在 Y 中。更加形式的說
![{\displaystyle \forall x\forall y\left[x\leq y\land x\in Y\Rightarrow \;y\in Y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e444e734eb83886f95a332a87898f55b6f2dab)
對偶概念是下部集合(向下閉合集合)，它是給定偏序集合 (X,≤) 的任何子集 Y，使得對於所有元素 x 和 y，如果 x 小於等於 y，並且 y 是 Y 的一個元素，則 x 也在 Y 中。更加形式的說
![{\displaystyle \forall x\forall y\left[x\leq y\land y\in Y\Rightarrow \;x\in Y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668c6168d9dc173ce6d3fcc6f81bb2f1ea6da0a5)
性質
所有偏序集合都是自身的上閉集合。上閉集合的交集還是上閉集合。任何上閉集合的補集都是下閉集合，反之亦然。
給定偏序集合 (X,≤)，用包含關係排序的 X 的下閉集合的家族是完全格，下閉集合格 O(X)。
給定有序集合 X 的任意子集 Y，包含 Y 的最小的上閉集合使用上箭頭指示為 ↑Y。對偶的，包含 Y 的最小下閉集合使用下箭頭指示為 ↓Y。下閉集合被稱為主要的，如果它有 ↓{x} 的形式，這裏的 x 是 X 的一個元素。一個有限有序集合 X 的所有的下閉集合 Y 等於包含 Y 的所有極大元的最小下閉集合：Y = ↓Max(Y)，這裏的 Max(Y) 指示包含 Y 的極大元素的集合。
任何上閉集合的極小元形成一個反鏈（antichain）。反過來任何反鏈 A 確定一個上閉集合 {x：對於 A 中某個 y, x ≥ y}。對於滿足降鏈條件的偏序，在反鏈和上閉集合之間這種對應是一對一的，但對於更一般的偏序這不為真。
序數
序數通常被當作所有更小序數的集合。所以序數嚴格是序數的下閉集合。
引用
- Blanck, J. (2000) "Domain representations of topological spaces". Theoretical Computer Science, 247, 229–255.
- Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T0) and (T1)
- Davey, B.A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order Second Edition. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1.