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X²+1素數

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x²+1素數問題是一個未解決的數學問題,其陳述如下:是否存在無窮個正整數x,使得x²+1為素數?

這個問題得到許多數論學者的關注,有學者認為這個問題比孿生素數猜想更加困難,因為在正整數中,x²+1的數比p+2稀少,故x²+1為素數概率更小。[1]

10000以內的x²+1素數為(OEISA002496):2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

歷史

在1912年的國際數學家大會上,愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說,當中他提及的四個關於素數的問題是「以目前的科學狀況無法攻克」的,其中的第四個問題便是:「函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數?」[2]

推論

一般地說,設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數可以證明,若f(x)能取無窮多次的質數值,那麼a, b, c須符合以下條件:

  1. a, b, c的最大公約數為1
  2. a+b和c不能都是偶數
  3. b²-4ac不是完全平方數

一個廣義化的猜想便是,若a為正數且a, b, c符合上述3個條件,那麼f(x)便能取無窮多次的質數值(見布尼亞科夫斯基猜想)。[3]

進展

1923年,英國數學家哈代李特爾伍德猜測[2]

根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理英語Friedlander–Iwaniec theorem,存在無窮多個形如的質數。

在1978年,亨里克·伊萬涅茨英語Henryk Iwaniec證明了存在無窮多個x,使得至多是兩個質數的積。

註釋

  1. ^ 「10000個科學難題」數學編委會 編. 10000个科学难题(数学卷). 科學出版社. 2009: 102 [2014-10-25]. ISBN 9787030242679. (原始內容存檔於2016-03-07). 
  2. ^ 2.0 2.1 János Pintz. LANDAU'S PROBLEMS ON PRIMES (PDF). [2014-10-25]. (原始內容存檔 (PDF)於2013-10-30). 
  3. ^ 《數學辭海》編輯委員會 編. 數學辭海(第六卷). 山西教育出版社、中國科學技術出版社、東南大學出版社. 2002: 660 [2014-10-25]. ISBN 9787544024013. (原始內容存檔於2014-10-25). 

參考文獻

參見