Q-模擬

在數學里，尤其是組合數學和特殊函數領域，一個定理、等式或者表達式的q-模擬是指在引入一個新的參數q後當q→1時原定理、等式或表達式的極限。最早地研究得較為深入的q-模擬是 19世紀^[1]被引入的基本超幾何級數。

q-模擬在包括分形、多重分形, 混沌動力系統的熵表達在內的多個研究領域都有應用。另外，在量子群和 q-變形代數的研究中也有應用。

"經典" q-模擬開始於萊昂哈德·歐拉的研究工作，後來由F. H. Jackson^[2] 以及其他人^[3]所擴展。

"經典" q-理論

經典 q-理論開始於非負整數的q-模擬。^[3] 等式

$\lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n$

表示定義n的q-模擬為

$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.$

階乘的q-模擬，稱作q-階乘，被定義為

${\big [}n]_{q}!$ $=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}$

$={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}$

$=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

[n]_q! 表示逆序對的數目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序對，S_n表示n全排列的集合, 則有

$\sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.$

特別地, 當取極限 $q\rightarrow 1$ 時就得到一般的階乘公式。

根據q-階乘, 可以定義 q-二項式係數, 也被稱作高斯係數, 高斯多項式, 或高斯二項式係數:

${\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.$

q-指數定義為:

$e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.$

高斯二項式係數計算一個有限維向量空間的子空間數。令q表示一個有限域里的元素數目，則在q元有限域上n維向量空間的k維子空間數等於 ${\binom {n}{k}}_{q}.$ 當q等於1時, 得到二項式係數 ${\binom {n}{k}}.$

^ Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
^ F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
^ ^3.0 ^3.1 Ernst, Thomas. A Method for q-calculus (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2003, 10 (4): 487–525 [2011-07-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2012-03-28）.