HP濾波

HP濾波（英語：Hodrick–Prescott filter或Hodrick–Prescott decomposition）是宏觀經濟學中用到的時間序列分析方法，尤其在實際經濟周期理論中較為常用。HP濾波可以從原始數據中分離出周期性的部分，並得到一條平滑的曲線來表述整個時間序列，即把對短期波動更敏感的數據轉成了對長期波動更敏感的表示方式，改變乘數$\lambda$可以調整其敏感程度。20世紀90年代，兩位經濟學家羅伯特·霍德里克和諾貝爾獎得主愛德華·普雷斯科特發表了這種方法並受到學界歡迎。不過實際上早在1923年惠特克就首次發表了該方法。

數學表述

這個方法的思想類似於時間序列分解。令$\{y_{t}\},\ t=1,2,...,T\,$表示一組時間序列變量的對數，則$\{y_{t}\}$由一系列趨勢項$\tau _{t}$、周期項$c_{t}$和誤差項$\epsilon _{t}$組成，即$y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\ +\epsilon _{t}$。給定合適的正數$\lambda$，存在一個趨勢項滿足

$\min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right)$。

上式第一項表示變量偏離趨勢項的誤差$d_{t}=y_{t}-\tau _{t}$的平方和，從而控制了周期項的大小；第二項用乘子$\lambda$乘上趨勢項二階差分的平方和，從而控制了趨勢項變化的劇烈程度。$\lambda$越大，後者的控制就越強。霍德里克和普雷斯科特建議季度數據$\lambda$取為1600，若單位不是季度則$\lambda$正比於每單位所含季度數的平方，即年度數據取100、月度數據取14,400。雷文（Ravn）和烏利希（Uhlig）則在2002年發表的文章中提出$\lambda$應該正比於數據每單位所含季度數的四次方，即年度數據$\lambda$應取6.25、月度數據取129,600。

麥克爾羅伊的一篇論文中給出了雙側HP濾波譜分解的精確數學表達式。

評價

HP濾波很容易實現，不過它也存在一定缺陷，只在以下嚴苛條件下才能做出最優估計：

• 時間序列是二階整合的，否則HP濾波會得到偏離實際情況的趨勢項。
  • 如果發生了單次的永久性衝擊（permanent shock）或存在穩定的趨勢增長率，HP濾波得到的周期項也會扭曲。
• 樣本中的周期項是白噪音，或者趨勢項和周期項中的隨機變化機制相同。

標準的雙側HP濾波不應該用來估計基於遞歸狀態空間表達的DSGE模型，這是因為HP濾波使用未來的觀測$t+i,i>0$去構造當前時間點$t$的結果，但遞歸狀態空間要求當前的觀測僅基於當前和過去的狀態。要解決這個問題，可以使用單側HP濾波。

參見

• 帶通濾波器
• 卡爾曼濾波

拓展閱讀

• Enders, Walter. Trends and Univariate Decompositions. Applied Econometric Time Series Third. New York: Wiley. 2010: 247–7. ISBN 978-0470-50539-7. 
• Favero, Carlo A. Applied Macroeconometrics. New York: Oxford University Press. 2001: 54–5 [2019-07-06]. ISBN 0-19-829685-1. （原始內容存檔於2020-09-22）. 
• Mills, Terence C. Filtering Economic Time Series. Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. New York: Palgrave McMillan. 2003: 75–102. ISBN 1-4039-0209-7. 

外部連結

• 普雷斯科特給出的Fortran代碼（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Matlab實現（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 單側HP濾波的Matlab實現（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• R語言實現的HP濾波，包名mFilter（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 在線進行HP濾波（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）