1 − 2 + 4 − 8 + …

在數學中，1 − 2 + 4 − 8 + …是一個無窮級數，它的每一項都是2的冪而加減號則是交錯地排列。作為幾何級數, 它以 1 為首項，-2為公比。

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}$

作為實數級數，它發散到無窮，所以在一般意義下它的和不存在。在更廣泛的意義下，這一級數有一個廣義的和為⅓。

歷史上的爭論

戈特弗里德·萊布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的發散級數。他認為經過從右邊或左邊相減，分別可以得到正無限及負無限，所以兩個答案都是錯的，而整個級數必為有限：

"如果兩個結論里沒有一個是可被接受的，或者說因為無法判斷哪個結論可被接受，自然一般會選擇處在兩個結論中間的結論，所以這個級數和是一個有限數。"

萊布尼茲並不是非常肯定這個級數有和，但是他根據墨卡托方法推測它和⅓有關係。在十八世紀，「一個數項級數的和可能等於一個並不是其逐項疊加的結果的有限數」是一個十分普通的觀點，儘管現代數學觀點同當時的觀點並沒有任何分別。

當克里斯提安·沃爾夫在1712年閱讀了萊布尼茲對格蘭迪級數的解法後， 他對此解法非常滿意，並設法通過這種方法去尋求更多解決發散級數問題的數學方法（如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …）。簡明地說,如果某人以倒數第二項的函數來表示級數的部分和的話，他得到的結果會是${\tfrac {4m+1}{3}}$或者${\tfrac {-4n+1}{3}}$ 。 這些值的平均值是${\tfrac {2m-2n+1}{3}}$，然後假設m = n ，討論到無限後就得到了級數和是 ⅓ 。萊布尼茲的直覺在這時讓他避免了在沃爾夫的解法上費力氣。他給沃爾夫回信，說他的解法有點意思，但是因幾個原因而無效。 相鄰的兩個部分和並不收斂到任何一個特定值上，同時在任何有限條件下都有n = 2m，而不是n = m。總之，可求和級數的項最終都應收斂到零；即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成這種級數的極限。萊布尼茲勸沃爾夫再好好考慮一下，認為他說不定「可以搞出一些於他於科學都有價值的東西。」

現代方法

等比數列

任何具有規律性、線性和穩定性的求和方法都能對等比數列（幾何級數）求和

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}$.

在這種情況下 a = 1 且 r = −2，所以級數和是 ⅓。

歐拉求和

在他1755年的《Institutiones》上，萊昂哈德·歐拉採用了現在被稱為歐拉變換的方式處理1 − 2 + 4 − 8 + …，得到了收斂級數½ − ¼ + ⅛ − ¹/₁₆ + …。因為後者的和為⅓，歐拉得出結論，認為1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓。他對於無窮級數的看法不太遵循現代方法。如今，我們稱1 − 2 + 4 − 8 + …是歐拉可求和，其歐拉和是⅓。

《Institutiones》節選

歐拉變換以正項序列開始：

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8, ….

而前向差分序列是

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8, …,

這一序列與上一序列正好相同。因此對於每一n，迭代前向差分序列均以Δⁿa₀ = 1開始。級數的歐拉變換如下：

${\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .$

上述級數是一收斂等比級數，按常規求和公式得出其和為⅓。

博雷爾和

1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷爾和也是 ⅓；博雷爾於1896年介紹了博雷爾和極限的公式，這是他在關於1 − 1 + 1 − 1 + …後的首個實例之一。

參考資料

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