高斯函數

高斯函數是形式為

f(x)=ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}

的函數。其中a、b與 c為實數常數，且a > 0.

c² = 2的高斯函數是傅立葉變換的特徵函數。這就意味着高斯函數的傅立葉變換不僅僅是另一個高斯函數，而且是進行傅立葉變換的函數的標量倍。^{[註 1]}

半峰全寬與積分

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.

\mathrm {FWHM} =2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma \approx 2.355\;\sigma .

解得

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=a\cdot {\sqrt {2\pi }}FWHM/2.355\approx 1.064\cdot a\cdot FWHM

高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影，這方面的例子包括：

^ 高斯函數屬於初等函數，但它沒有初等不定積分。但是仍然可以在整個實數軸上計算它的廣義積分（參見高斯積分)：
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ 。

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