零測集
在數學分析中,零測集(英語:Null set)是一個測度為0的可測集,它可以被可數個測度為任意小的開區間的併集覆蓋的集合。
零測集的概念不應與集合論中定義的空集混淆。空集的勒貝格測度為0,但也存在非空集的測度為0。例如,任何非空的可數實數集的勒貝格測度為零,因此它為零測集。
更一般的,給定測度空間,零測集滿足。
例子
實數的有限或可數無限子集都是零測集。例如自然數集合和有理數集合都是實數集的可數無限子集,因此它們是零測集。
康托爾集是一個不可數的零測集。
定義
設是實數集的子集,滿足
其中表示區間,是區間的長度,則是零測集。[1]
在數學分析的術語中,這個定義要求存在的開覆蓋序列,該序列覆蓋長度的極限收斂到0。
性質
- 空集總是零測集。
- 可數個零測集的併集是零測集。
- 零測集的任何一個可測子集是零測集。
應用
零測集在勒貝格積分的定義中起到了關鍵作用。如果函數f和函數g除一個零測集以外處處相等,則f可積當且僅當g可積,並且二者的積分相等。這使Lp空間定義為除零測集外均為同一類函數的集合。
參考文獻
- ^ Franks, John. A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library 48. American Mathematical Society. 2009: 28. ISBN 978-0-8218-4862-3. doi:10.1090/stml/048.