陳類

數學上，特別是在代數拓撲和微分幾何中，陳類（英語：Chern class，或稱陳氏類）是一類復向量叢的示性類，類比於斯蒂弗爾-惠特尼類（英語：Stiefel-Whitney class）作為實向量叢的示性類。

陳類因陳省身而得名，他在1940年代第一個給出了它們的一般定義。

定義

給定一個拓撲空間X上的一個復向量叢E, E的陳類是一系列X的上同調的元素。E的第k個陳類通常記為c_k(E),是X的整數係數的上同調群H^2k(X;Z)中的一個元素，並且滿足如下公理:

公理1. 對於任何 $E,\ c_{0}(E)=1\in H^{0}(X;\mathbb {Z} )$

公理2. 自然性：如果 $E\to X$ 是一個復向量叢， $f:Y\to X$ 是一個連續映射， $f^{*}E\to Y$ 是拉回的向量叢，那麼對任意k， $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}(c_{k}(E))\in H^{2k}(Y;{\mathbb {Z} })$

公理3. 惠特尼求和公式：如果 $E_{1},E_{2}\to X$ 是兩個復向量叢，那麼它們的直和 $E_{1}\oplus E_{2}$ 的陳類是

$c_{k}(E_{1}\oplus E_{2})=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E_{1})\cup c_{k-i}(E_{2})$

公理4. 如果 $H\to {\mathbb {P} }^{1}$ 是復射影直線上的超平面叢，那麼 $c_{1}(H)$ 的龐加萊對偶是 $1\in H_{0}({\mathbb {P} }^{1};{\mathbb {Z} })$

任何陳類的積分是一個整數，叫陳數，有時候給卷繞數。

在物理學中，陳數有很多應用。例如第一陳數

$\phi =\int c_{1}$

$e^{i\phi /\hbar }$

描述阿哈羅諾夫－玻姆效應。第二陳數描述一種流形邊界的陳-西蒙斯理論：

$\int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}$

在物理學中，這有時候被叫做theta term，描述Witten效應、瞬子（第三同倫類）、軸子、Dyon（英語：Dyon）等等。

$S(A)=YM+\theta \int _{M}c_{2}$

$c_{k}={\frac {1}{k!}}({\frac {i}{2\pi }})^{k}tr(F^{k})={\frac {1}{k!}}({\frac {i}{2\pi }})^{k}dCS_{2k+1}$

若F是曲率形式，陳示性是

$ch(V)=[tr(\exp(iF/(2\pi ))]$

而且

$ch(V\oplus W)=ch(V)+ch(W)$

$ch(V\otimes W)=ch(V)\ ch(W)$

比方說，若V是U(1)主叢（阿貝爾規範）

$ch(V)=\exp(c_{1}(V))$

同時，有很多處理這個定義的辦法：陳省身最初使用了微分幾何；在代數拓撲中，陳類是通過同倫理論定義的，該理論提供了把E和一個分類空間（在這個情況下是格拉斯曼流形聯繫起來的映射）；還有亞歷山大·格羅滕迪克的一種辦法，表明公理上只需定義線叢的情況就夠了。陳類也自然的出現在代數幾何中。

直觀地說，陳類和向量叢的截面"所需要的0"的個數相關。

陳類的理論導致了殆複流形的配邊不變量的研究。

若M是一個複流形，則其切叢是一個復向量叢。M的陳類定義為其切叢的陳類。若M是緊的2d維的，則每個陳類中的2d次單項式可以和M的基本類配對，得到一個整數，稱為M的。

若M′是另一個同維度的近複流形，則它和M配邊，當且僅當M′和M陳數相同.

陳類理論有個一般化，其中普通的上同調由一個廣義上同調群理論所代替。使得這種一般化成為可能的稱為復可定向的理論。陳類的形式化屬性依然相同，但有一個關鍵的不同：計算線叢的張量積的第一陳類的規則不是各個因子的（普通）加法而是一個形式化群法則（formal group law）。

物理學

Chern, Shiing-Shen, Characteristic classes of Hermitian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1946, 47: 85–121, ISSN 0003-486X, MR 0015793
Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
Chern, Shiing-Shen Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.