開爾文環流定理

在流體動力學上，開爾文環流定理（英語：Kelvin's circulation theorem，由第一代開爾文男爵威廉·湯姆森於1869年發表，因此以他命名）描述在徹體力保守的正壓理想流體中閉合曲線（包圍相同的流體元）的環量在流體運動時並不會隨時間而改變。其數學描述為

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0$

其中$\Gamma$為材料圍線$C(t)$的環流。用更簡單的話來說，這條定理所指的是，若觀察閉合圍線並注意它一段時間（注意所有流體元的運動）的話，則始終兩者間的環流相等。

本定理在有黏性應力、非保守徹體力（例如科里奧利力）或非正壓的壓力－密度關係的情況下並不成立。

數學證明

參見：歐拉方程 (流體動力學)

材料圍線$C(t)$的環流 $\Gamma$的定義為：

$\Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

其中u為速度向量，ds為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi$

其中D/Dt為實質導數，ρ為流體密度，p為密度，以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數，且為其唯一自變量，即$\rho =\rho (p)$。

取環流的實質導數，得：

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}$

把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理，得：

$\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.$

最後的等式是源自${\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0$，它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數$f$的梯度的旋度皆為零這一事實${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0$。

已知材料線元的時間進化由下式給出（可由實質導數的定義求得）

${\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}$

因此

$\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0$

使用交換律後再使用${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\nabla \left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)$。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零，得

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0$

參見

• 亥姆霍茲定理 (流體力學)