扭對稱群

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp(2n, F)

域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩陣在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域$\mathbb {R}$、複數域$\mathbb {C}$或非阿基米德局部域，如p進數域$\mathbb {Q} _{p}$。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於$n(2n+1)$的連通代數群。$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )$是單連通的，而$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$的基本群則同構於$\mathbb {Z}$。

$\mathrm {Sp} (2n,F)$的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣$A$：

$\Omega A+A^{T}\Omega =0$

其中$A^{T}$表示$A$的轉置矩陣，而$\Omega$是下述反對稱矩陣

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}$

Sp(n)

緊辛群 $\mathrm {Sp} (n)$ 定義為 $\mathrm {H} ^{n}$（$\mathbb {H}$表四元數）上保持標準埃爾米特形式

$\langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}$

之可逆線性變換。換言之，$\mathrm {Sp} (n)$ 即四元數上的酉群$\mathrm {U} (n,\mathbb {H} )$。有時此群也被稱為超酉群。$\mathrm {Sp} (1)$ 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 $\mathbb {S} ^{3}$。

$\mathrm {Sp} (n)$ 並不同構於之前定義的 $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$。下節將解釋其間的聯繫。

$\mathrm {Sp} (n)$ 是 $n(2n+1)$ 維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

$Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )$

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

$A+A^{\dagger }=0$

其中 $A^{\dagger }$ 是 $A$ 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群 $\mathrm {Sp} (n)$ 有時稱為酉辛群，記為 $\mathrm {USp} (2n)$

辛群之間的關係

以上定義之$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$與$\mathrm {Sp} (n)$之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作$C_{n}$。此李代數也就是複李群$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )$之李代數，記作$\mathrm {sp} (2n,\mathbb {C} )$。它有兩個不同的實形式：

1. 緊緻形式$\mathrm {sp} (n)$，即$\mathrm {Sp} (n)$之李代數。
2. 正規形式$\mathrm {sp} (2n,\mathbb {R} )$，即$\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$。

辛群之間的關係

	矩陣	李群	dim/R	dim/C	緊緻	π1
Sp(2n, R)	R	實	n(2n + 1)	–	否	Z
Sp(2n, C)	C	複	2n(2n + 1)	n(2n + 1)	否	1
Sp(n)	H	實	n(2n + 1)	–	是	1

參見

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩陣、辛向量空間、扭對稱符號
• 哈密頓力學