調日法

調日法是南北朝數學家何承天發明的一種系統地尋找最佳逼近（帕德近似）以表示天文數據或數學常數的內插法。據宋史卷七十四：「宋世何承天，更以四十九分之二十六為強率，十七分之九為弱率；於強弱之際，以求日法……自後治歷者，莫不因承天法，累強弱之數」調日法後來傳入日本。

中國有學者認為祖沖之可能利用何承天的調日法求得圓周率的約率和密率：

圓周率的約率為 ${\frac {22}{7}}\$

圓周率的密率為 ${\frac {355}{113}}\$

何承天的調日法是他對數學的一項重要貢獻。一千年以後，15世紀法國數學家尼古拉·休凱（1455年 ━ 1488年），才使用相似的插入法。

何承天調日法原理

已知${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

則${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}$

推而廣之：

${\frac {a}{b}}<{\frac {ma+kc}{mb+kd}}<{\frac {c}{d}}$，其中 m,k 為正整數。

欲求精確分數$f_{n}$使$|f-f_{n}|<\delta$，其中$\delta$為誤差界限。

令$f_{0}={\frac {a}{b}}$為弱率，$f_{1}={\frac {c}{d}}$為強率。

第一步，根據下列方法求得一個近似分數

$f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}$

如果$f_{2}>f$，則將$f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}\$ 作為新的強分數，和舊弱分數 ${\frac {a}{b}}\$調日得到近似分數：

$f_{3}={\frac {a+c+a}{b+d+b}}\$

如果$f_{2}<f$， 則將$f_{2}={\frac {a+c}{b+d}}\$ 作為新的弱分數，和舊強分數 ${\frac {c}{d}}\$ 調日得到近似分數：

$f_{3}={\frac {a+c+c}{b+d+d}}\$

反覆操作，到$|f-f_{n}|<\delta$ 為止。

另外，還可以直接求m,k的數值，加快逼近速度： 若${\frac {a}{b}}<x<{\frac {c}{d}}$，且 $x-{\frac {a}{b}}=d_{1}$以及${\frac {c}{d}}-x=d_{2}$

如果有正整數m,k滿足：${\frac {kd}{mb}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

那麼就有：$x={\frac {ma+kc}{mb+kd}}$

證明如下：由條件可得

${\begin{aligned}bd_{1}&=bx-a\\dd_{2}&=c-dx\end{aligned}}$

而根據${\frac {kd}{mb}}={\frac {d_{1}}{d_{2}}}$又有

$mbd_{1}=kdd_{2}$

代入上面的兩個關係式可得：

$m(bx-a)=k(c-dx)$

解關於x的一元一次方程就有結果：

$x={\frac {ma+kc}{mb+kd}}$

應用

何承天調日法被同時代和後代數學家如趙爽，祖沖之，一行等運用。

朔望月

何承天將 ${\frac {9}{17}}=0.529412...\$作為朔望月零數部分的弱率，以${\frac {26}{49}}=0.530612...\$作為朔望月零數部分的強率。運用調日法，最後得到 ${\frac {399}{752}}\$，根據他的觀測數值0.530585，首先計算d1,d2

${\begin{aligned}d_{1}&=0.530585-0.529412&=0.001173\\d_{2}&=0.530612-0.530585&=0.000027\end{aligned}}$

尋找滿足以下關係的m,k值：

${\begin{aligned}{\frac {49k}{17m}}&={\frac {1173}{27}}\\{\frac {k}{m}}&={\frac {1173\times 17}{49\times 27}}&\approx {}15.07\ldots \end{aligned}}$

可以令(m,k)=(1,15)

從而得到：

${\frac {1\times 9+15\times 26}{1\times 17+15\times 49}}={\frac {399}{752}}$

727年唐朝天文學家一行在《大衍曆》中用同樣的弱率和強率求得 ${\frac {1613}{3040}}$

閏周問題

南北朝數學家祖沖之熟悉調日術，他以${\frac {4}{11}}$為弱率， 以${\frac {7}{19}}$為強率，通過調日法得到${\frac {144}{391}}$

近點月

何承天以${\frac {56}{101}}$為弱率，以${\frac {5}{9}}$為強率，用調日法求得近點月為${\frac {417}{752}}$。祖沖之也得到高精度的數值${\frac {14631}{26377}}$

圓周率約率和密率

祖沖之求圓周率約率和密率的方法已失傳。有學者認為他用劉徽割圓術求得圓周率的約率和密率 ；也有學者認為祖沖之有可能用何承天的調日法求得圓周率的約率和密率的分數表示式。 祖沖之對調日法是熟悉的，他自己就用過調日法改進何承天近點月${\frac {417}{752}}$為更加精確的${\frac {14631}{26377}}$

取$\pi \approx 3.1416$，先只考慮小數部分，根據${\frac {1}{8}}<0.1416<{\frac {1}{7}}$，用調日法進行計算：

${\begin{aligned}d_{1}&=0.1416-0.125&=0.0166\\d_{2}&=0.142857-0.1416&=0.001257\end{aligned}}$

尋找滿足以下關係的m,k值：

${\begin{aligned}{\frac {7k}{8m}}={\frac {0.0166}{0.001257}}\\{\frac {k}{m}}={\frac {8\times 0.0166}{7\times 0.001257}}&\approx {}15.09\ldots \end{aligned}}$

所以可以令(m,k)=(1,15)，從而可以得到結果：

$3+{\frac {1\times 1+1\times 15}{1\times 8+15\times 7}}=3+{\frac {16}{113}}={\frac {355}{113}}$

祖沖之密率 ${\frac {355}{113}}$ 和π之誤差為0.0000002668。下一個比之更為精確的分數為 ${\frac {52163}{16604}}=3.1415923874$ 誤差為 -0.0000002662，分子、分母都比祖沖之密率的分子、分母複雜得多。

祖沖之很可能先用劉徽割圓術求出圓周率。劉徽割圓術計算需要多次開平方運算，例如用八次割圓術得到 $\pi \approx {\frac {3927}{1250}}=3.1416$， 無論分子分母都比祖沖之密率的分子分母複雜，但還不如密率的分數表示準確。用十一次割圓術可得到和密率相當精確但比較複雜的分數，再通過調日法求得準確而又簡單的分數式。

調日法後傳入日本。日本數學家關孝和（Seki, Takakazu, 1642-1708）在《括要算法》一書中稱之為零約術，並用之得出圓周率的近似分數為 ${\frac {355}{113}}$，正是祖沖之的密率。

黃金分割與斐波那契數列

黃金分割：

$\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...$

用調日法求分數表示：

${\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}},{\frac {8}{5}},{\frac {13}{8}},{\frac {21}{13}},{\frac {34}{21}},{\frac {55}{34}},{\frac {89}{55}},{\frac {144}{89}},{\frac {233}{144}},{\frac {377}{233}},{\frac {610}{377}},{\frac {987}{610}},{\frac {1597}{987}},{\frac {2584}{1597}},{\frac {4181}{2584}}$

分母1,2,3,5,8,13,21,....正是斐波那契數列。

其他

• √2=1.4142135623 ~=${99 \over 70}$
• √3=1.7320508075 ~=${71 \over 41}$
• √5=2.2360679775 ~=${199 \over 89}$
• √10=3.162277660 ~=${117 \over 37}$
• ${\sqrt[{12}]{2}}$=1.059463094~=${107 \over 101}$
• e=2.718281828 ~=${2721 \over 1001}$
• 普朗克常數 ~=${53 \over 8}$x10^-34
• 萬有引力常數 G~=${227 \over 34}$x10^-11
• 阿伏伽德羅常量~=${241 \over 40}$x10²³
• 玻爾茲曼常數~=${29 \over 21}$x10^-23