解析延拓
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2015年1月18日) |
解析延拓(英語:Analytic continuation)是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法,一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函數與黎曼ζ函數。
初步闡述
若f為一解析函數,定義於複平面C中之一開子集 U,而V是C中一更大且包含U之開子集。F為定義於V之解析函數,並使
則F稱為f之解析延拓。換過來說,將F函數限制在U則得到原先的f函數。
解析延拓具有唯一性:
若V為兩解析函數F1及F2的連通定義域,並使V包含U;若在U中所有的z使得
- F1(z) = F2(z) = f(z),
則在V中所有點
- F1 = F2。
此乃因 F1 − F2亦為一解析函數,其值於f的開放連通定義域U上為0,必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。
應用
在複分析處理過程中定義函數的通常做法是,首先在較小的定義域中具體定義函數,然後通過解析延拓將其擴展到指定範圍。在實際操作中,為了實現函數的連續性,我們需要在較小的定義域中建立函數方程, 然後通過這個方程拓展定義域。例如黎曼ζ函數和Γ函數。全覆蓋的概念最早用來定義解析函數解析延拓之後的自然定義域。尋找函數解析延拓後的最大定義域的想法最後導致了黎曼面的誕生。
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