西姆松定理

藍線(LM)為三角形 ABC 關於其外接圓上點 P 的西姆松線

西姆松定理（或譯西摩松定理、西姆森定理）是幾何學中的一個定理，此定理描述：在平面中，給定一個三角形 $ABC$，以及 $\triangle ABC$ 外接圓上的一點$P$。則 $P$ 分別對直線 ${\overleftrightarrow {AB}}$、${\overleftrightarrow {BC}}$、${\overleftrightarrow {CA}}$ 作的三個垂足（右圖中的 $N$、$L$、$M$）會共線。

上述中的直線 ${\overleftrightarrow {MNL}}$ 稱為 $\triangle ABC$ 關於 $P$ 點的西姆松線（英語：Simson line），或譯西摩松線、西姆森線。

逆定理

西姆松定理的逆敘述也是正確的，其描述：給定平面中的 $\triangle ABC$ 及一點 $P$。若 $P$ 對 $\triangle ABC$ 三邊延長線的三個垂足共線，則 $P$ 在 $\triangle ABC$ 的外接圓上。

相關性質

• 令 $\triangle ABC$ 的垂心為H。則 $\triangle ABC$ 關於 $P$ 的西姆松線和 ${\overline {PH}}$ 的交點為 ${\overline {PH}}$ 的中點，且此中點在九點圓上。
• 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
• 若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

西姆松定理與西姆松的關係

西姆松定理命名自蘇格蘭數學家 Robert Simson，然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者，此定理實則由另一位蘇格蘭數學家威廉·華萊士所發表。

證明

如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直於BC，PM垂直於AC，PN垂直於AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分別四點共圓，有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四點共圓。

若A、B、P、C四點共圓，則角PBN = 角PCM。因PL垂直於BC，PM垂直於AC，PN垂直於AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三點共線。

參見

• 外接圓
• 九點圓
• 垂足三角形

外部連結

• cut-the-knot網站上的證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 證明（flash） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）