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萊維過程

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萊維過程(Lévy process)源於法國數學家保羅·皮埃爾·萊維,是連續時間上的一種擁有獨立穩定增量的左極限右連續(Càdlàg)的隨機過程。著名的例子有維納過程泊松過程

定義

一個隨機過程是一個萊維過程如果符合以下條件:

  1. 幾乎確定
  2. 獨立增量:對任何, 相互獨立
  3. 穩定增量:對任何, 有相同分布
  4. is 幾乎確定右連左極.

性質

獨立增量

Xt是一個連續時間上的隨機過程。也就是說,對於任何固定的t ≥ 0,Xt是一個隨機變量。過程的增量為差值XsXt(任意的時間t < s)。 獨立增量意味着對於任何時間s > t > u > vXsXtXuXv相獨立。

穩定增量

如果增量XsXt的分布只依賴於時間間隔s − t,則稱增量是穩定的。

例如,對於維納過程,增量Xs − Xt服從均值為0,方差為s − t正態分布

對於泊松過程,增量Xs − Xt服從指數為s − t泊松分布

可分性

萊維過程與無限可分分布有關:

  • 增量的分布是無窮可分的。即對任意給定的nXt的分布可以表示為n個與Xt/n同分布的隨機變量的和的分布。
  • 反之,對於每個無窮可分的分布,可以構造出一個與之對應的Lévy過程。

當萊維過程的n階矩存在有限時, 它滿足二項式等式:

例子

維納過程

定義
X維納過程(或者標準布朗運動) 當且僅當

  1. 對任何, 隨機變量服從正態分布,
  2. 它的軌跡是幾乎處處連續的;即, 對於幾乎所有的事件,關於t的函數是連續的。

性質

其他性質可參考詞條布朗運動

複合泊松過程

定義
X為一個實參數為,測度為 複合泊松過程英語Compound Poisson process當且僅當它的傅立葉變換為:

.

性質

  • 參數為 ,測度為Dirac測度英語Dirac measure的複合泊松過程為泊松過程.
  • N為參數為的泊松過程,為一個隨機遊走的分布為),那麼為一個複合泊松過程。

參閱

參考來源

翻譯自英語、法語版維基詞條。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999