自由模

在抽象代數中，一個環 $R$ 上的自由模是帶有基底的模。

定義

一個自由 $R$-模 $M$ 是 $R$-模範疇中的自由對象。具體言之，即存在一族元素 $\{m_{i}\}_{i\in I}$（可能有無限多個）使得：

• 任何 $m\in M$ 都可表成它們的線性組合 $m=\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}$，其中只有有限個 $r_{i}$ 非零。
• 若 $\sum _{i\in I}r_{i}m_{i}=\sum _{i\in I}r_{i}'m_{i}$，則 $\forall i,\;r_{i}=r_{i}'$。

等價說法是：$M\simeq R^{I}$。此時 $\{m_{i}\}_{i\in I}$ 稱作 $M$ 的一組基底。

性質

• $M$ 的秩可定義為 $I$ 的基數，與基底選取無關。
• 自由模皆是射影模，也是平坦模。
• 若接受選擇公理，則任何除環上的模都是自由模，例如域上的向量空間。