數學上,對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的:群的每個元素作為一個雙射(或者對稱作用)作用在某個集合上。在這個情況下,群稱為置換群(特別是在群有限或者不是線性空間時)或者變換群(特別是當這個集合是線性空間而群作為線性變換作用在集合上時)。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示(通常該集合有限),並且可以表述為置換矩陣,一般在有限的情形作此考慮-這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。
定義
若為一個群而為一個集合,則在上的一個(左) 群作用是一個二元函數
(其中和的像寫作),滿足如下兩條公理:
- 對於所有 和 成立
- 對於每個成立 (代表的麼元)
從這兩條公理,可以得出對於每個,映射到的函數是一個雙射(單射以應付,滿射以應付),從映射到。因此,也可以將在上的群作用定義為從到對稱群的群同態。
若群作用給定,我們稱「G作用於集合X」或者X是一個G-集合。
完全一樣地,可以定義一個G在X上的右群作用為函數,滿足以下公理:
注意左和右作用的區別僅在於象gh這樣的積在x上作用的次序。對於左作用h先作用然後是g,而對於右作用g先作用然後是h。從一個右作用可以構造一個左作用,只要和群上的逆操作複合就可以了。如果r為一右作用,則
是一左作用,因為
而
所以在這裡,我們只考慮左群作用,因為右作用可以相應推理。
群作用的種類
群G作用在集合X上的作用稱為:[1]
- 遞移性(Transitive)
- 如果X是一個非空集合,對於每對數對 x,y X,則存在一個gG,使得,我們就稱此作用為遞移性。
- 忠實性(Faithful)
- 如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中,我們就稱此作用為忠實的。換言之,就是群G到X的置換群之中為單射。
- 自由性(Free)
- 如果給定 ,存在,則有著,則稱為此作用為自由性。
- 正則的(Regular)
- 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的,又稱簡單遞移(英語:simply transitive)。
- n-遞移性(n-transitive)
- 如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 對所有 1 ≤ k ≤ n ,我們就稱其為n-遞移性。
- 本原的(Primitive)
- 如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block),那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。
軌道與穩定化子
軌道
若是的一個元素,且群在上有著一個作用,那麼的軌道就是指以下列方式定義的的子集:
的兩個軌道,要不彼此相等,要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道和有一個共通元素,那麼就可以找到兩個中的元素和,使得、,同時有,反之亦可推出,而這使得這兩個集合所有的元素都相等。
一個軌道的例子是陪集,假若是的一個子集,且定義中元素的慣常運算規則為在上的一個作用,那麼的陪集()就是的軌道。
不變子集
若S是X的一個子集,群G作用在X上( X 被稱作G-set),對於群G中的所有元素 g,以及所有S中的元素 x,有著 ,
則我們會說 S在G的作用下是封閉的,或是說,S在G作用下是不變的
不動點與穩定子群
若是的一個元素,對於群中的所有元素而言,都有,那麼就稱是-不變的(-invariant)。
另外若是的一個元素,則所有使得的中的元素構成的集合又稱對於的穩定子群(stabilizer subgroup of with respect to ),一般常常將之記作(注意:不要將之與上面軌道的符號混淆)。
是的一個子群,因為根據定義,因此的單位元屬於,且假若,那麼的逆元也是的元素,因為。
軌道-穩定點定理與伯恩賽德引理
考慮一個映射 可以證明此映射是一個雙射的函數,而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理
而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理,
西羅定理
範例
- 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 g⋅x = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X;換句話說,每個群元素對應 X上的恆等置換。[2]
參考資料