羅素悖論

羅素悖論（英語：Russell's paradox），是英國哲學家伯特蘭·羅素於1901年提出的悖論，是一個關於類的內涵問題。

羅素悖論有一些更為通俗的描述，如理髮師悖論、書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

定義

設$A=\{x\mid x\not \in x\}$，那麼$A\in A\Leftrightarrow A\not \in A$。

我們通常希望，任給一個性質（例如「年滿三十歲」就是一個性質），滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論。

設有一性質$P$，並以一性質函數$P(x)$表示，且其中的自變量$x$具有特性$x\not \in x$。現假設由性質$P$能夠確定一個滿足性質$P$的集合$A$——也就是說 $A=\{x\mid x\not \in x\}$。那麼，$A\in A$是否成立？

首先，若$A\in A$，則$A$是$A$的元素，那麼$A$具有性質$P$，由性質函數$P$可以得知$A\not \in A$；

其次，若$A\not \in A$，根據定義，$A$是由所有滿足性質$P$的類組成，也就是說，$A$具有性質$P$，所以$A\in A$。

通俗詮釋

理髮師悖論

小城裡的理髮師放出豪言：他要為城裡人刮鬍子，而且一定只要為城裡所有「不為自己刮鬍子的人」刮鬍子。

但問題是：理髮師該為自己刮鬍子嗎？如果他為自己刮鬍子，那麼按照他的豪言「只為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他不應該為自己刮鬍子；但如果他不為自己刮鬍子，同樣按照他的豪言「一定要為城裡所有不為自己刮鬍子的人刮鬍子」他又應該為自己刮鬍子。

用集合論的語言來描述理髮師悖論是這樣的：小城裡的人構成集合$A=\{a|a\ lives\ in\ the\ town\}$，對於每個小城裡的人$a$可以構造一個$A$的子集$S_{a}=\{x|a\ shaves\ x\}$，即$a$給屬於$S_{a}$的人刮鬍子。那麼，如果城裡人$a$給自己刮鬍子，則$a\in S_{a}$，如果$a$不給自己刮鬍子，則$a\not \in S_{a}$，如果$a$不給任何人刮鬍子，則$S_{a}$ 為空，即$S_{a}=\{\}$。設理髮師為$s$，則理髮師的豪言就是：$S_{s}=\{a|a\not \in S_{a}\}$。問題是：如果$s\in S_{s}$，這將與$S_{s}$的定義矛盾，但如果$s\not \in S_{s}$，根據$S_{s}$的定義，又應該有$s\in S_{s}$。理髮師悖論是個邏輯悖論。用集合論語言來描述並不是必需的，只是為了將來更容易說明它與羅素悖論不是一回事。

書目悖論

書目悖論（英語：Catalogue Paradox）是另一種羅素悖論的通俗解釋。其內容為，假設有一圖書館編制了一部書目，有且僅有列出那些未列出自身的書目，那麼這部書目會列出自身嗎？

解決方案

當一個句子、想法或公式引用自身時，就會出現自指。直到現在，真正意義上的悖論，其問題幾乎都是自指或自相關而引起。 儘管陳述可以是自指並且不自相矛盾（「This statement is written in English」是真實且非自相矛盾的帶有自指的陳述），但自指是悖論的一個常見要素。根據路德維希·維根斯坦的《邏輯哲學論》，任何命題不能包含自身，同理一個函數不能包含自身。

羅素悖論中，在邏輯上它們都有無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。因此，羅素提出了惡性循環原則，禁止使用包含被定義對象本身的的集合來定義該對象。邏輯系統中，如果要求任何命題不能違反惡性循環原則，則可以避免類似羅素悖論等自指性悖論。

參見

• 自指
• 理髮師悖論
• 類的理論