絕對無限

絕對無限是數學家康托爾的超越超限數的無限概念。康托爾把絕對無限等同於神。他堅持絕對無限有各種數學性質，包括絕對無限的所有性質也被某些更小的對象所持有。

康托爾的觀點

引證康托爾所說:

實際無限在三個上下文中出現: 首先在它被認識於最完善的形式中，在完全獨立的其他世界的存在中，「in Deo」的時候，這裡我稱呼它為絕對無限或簡單的稱為無限；其次在它偶然性的出現在神造世界中的時候；第三在精神「在觀念上」把它掌握為數學上的量、數或序類型的時候。

康托爾還在著名的1899年7月28日給理查德·戴德金的信中提到了這個想法^[1]:

一個多重列(multiplicity)被稱為良序的，如果它符合所有子多重列都有第一個元素的條件；我把這種多重列簡稱為「序列」。

...

現在我正視所有數序數的系統並把它指示為 Ω。

...

處於依照大小的自然排序下系統 Ω 是「序列」。現在讓我們毗連 0 作為給這個序列的一個額外元素，如果我們設置這個 0 在第一個位置上則 Ω′仍是序列

0, 1, 2, 3, … ω₀, ω₀+1, …, γ, …

通過它你可欣然的自我確信，出現在其中的所有的數 γ 都是所有它前面元素(包括 0)的序列的類型[就是序類型]。(序列 Ω 首先對 ω₀+1 有這個性質。[ω₀+1 應當是 ω₀。])

現在 Ω′(因此還有 Ω)不能是相容的多重列。因為如果 Ω′是相容的，則作為良序集合，數 δ 將屬於它，而它將大於系統 Ω 的所有的數；但是數 δ 還屬於系統 Ω，因為由所有的數組成。所以 δ 將大於 δ，這是一個矛盾。所以:

所有數序數的系統 Ω 是不相容的，絕對無限多重列。

所有序數的搜集在邏輯上不能存在，這個想法在很大程度是悖論性的。這與沒有最大序數的布拉利-福爾蒂悖論有關。所有這些問題都可以回溯到，對於所有邏輯上可以定義的性質，都存在有這個性質的所有對象的一個集合的想法。但是在康托爾上述論證中，這個想法導致了困難。

更加一般的說，如 A.W. Moore 所表述的，集合形成的過程沒有終結，因此沒有作為「所有集合的全體」或「集合層次」的這種事物。任何這種總體自身必定是集合，所以位於這個層次中的某個地方而不能包含所有集合。

這個問題的標準解決可在策梅洛集合論中找到，它不允許對任意性質的無限制的集合形成。轉而我們可以形成有某個給定性質並「位於沒有給定集合中」的所有對象的集合(策梅洛的分離公理)。這允許在有限制意義上的集合形成，而(有希望)保存理論的相容性。

但是儘管它優雅的解決了邏輯問題，但哲學問題依舊。只要個體們存在這些個體的集合就應存在是很自然的。在樸素的意義上，集合論可以被稱為基於了這個概念。策梅洛的修正將提交給我們一個更神秘的真類的概念: 在我們的理論中有着沒有作為一個對象(集合)的任何形式存在的對象的類。例如，所有集合的類就是這種真類。

^ Ivor Grattan-Guinness 證實了這封「信」實際上是康托爾的編輯 Ernst Zermelo 從不同時間寫的多封信拼湊出來的。(I. Grattan-Guinness, "The rediscovery of the Cantor-Dedekind Correspondence", Jahresbericht der deutschen Mathematik-Vereinigung 76, 104-139)

[1] Rudy Rucker, Infinity and the Mind, Princeton University Press, 1995.
[2] Ruckerbook Mind Tools
[3] Heijenoort 1967
[4] Moore, A.W. The Infinite, New York, Routledge, 1990
[5] Moore, A.W. "Set Theory, Skolem's Paradox and the Tractatus", Analysis 1985, 45
[6] G. Cantor, 1932. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. E. Zermelo, Ed. Berlin: Springer; reprinted Hildesheim: Olms, 1962; Berlin/Heidelberg/New York: Springer, 1980.