纖維叢

纖維束（fiber bundle 或 fibre bundle）又稱纖維叢，在數學上，特別是在拓撲學中，是一個局部看來像直積空間，但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射

$\pi :E\rightarrow B$

E 和乘積空間 B × F　的局部類似性可以用映射 $\pi$ 來說明。也就是說：在每個　E　的局部空間 $U$ ，都存在一個相同的F（F　稱作纖維空間），使得 $\pi$ 限制在 $U$ 上時　與直積空間　B × F　的投影　 $P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b$ 　相似。（通常會用此滿射：π : E → B　來表示一個纖維叢，而忽略F ）

如果　 $E=B\times F$ ，也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做平凡叢（trivial bundle）。

纖維叢擴展了向量叢(vector bundle)，向量叢的主要實例就是流形的切叢（tangent bundle）。他們在微分拓撲和微分幾何領域有着重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。

正式定義

一個纖維叢由四元組（E, B, π, F）組成，其中E, B, F　是拓撲空間而π : E → B　是一個連續滿射，滿足下面給出的局部平凡（local triviality）條件。B 稱為叢的基空間（base space），E 稱為總空間（total space）,而F 稱為纖維（fiber）。映射π 稱為投影映射.下面我們假定基空間B 是連通的。

我們要求對於B 中的每個點 x,存在一個在 B 中包含 x 的開鄰域U，並有一個同胚映射 φ:π⁻¹（U）→ U × F (顯然　U × F　是一個乘積空間) ，φ 並且要滿足 $\textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)$ ，也就是下圖是可交換的：

其中 proj₁ : U × F → U 是自然投影而 φ : π⁻¹(U) → U × F 是一個同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 $\textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F$ ）。所有{(U_i, φ_i)} 的集合稱為叢的局部平凡化。

對於 B 中每點 p，原象（preimage）π⁻¹(p) 和 F 同胚並稱為點 p 上的纖維.一個纖維叢（E, B, π, F）經常記為

F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B

以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維叢 π : E → B 都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以 B 有由映射π決定的商拓撲(quotient topology).

一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是，E, B, F都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射。

例子

令E = B × F並令π : E → B為對第一個因子的投影，則E是B上的叢.這裡E不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢.

最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶（Möbius strip）.莫比烏斯帶是一個以圓為基空間B並以線段為纖維F的叢。對於一點 $x\in B$ 的鄰域是一段圓弧；在圖中，就是其中一個方塊的長。原象 $\pi ^{-1}(U)$ 在圖中是個（有些扭轉的）切片，4個方塊寬一個方塊長。同胚φ把U的原象映到柱面的一塊：彎曲但不扭轉.

相應的平凡叢B × F看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。

一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環，S¹ × S¹。

一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。

纖維叢的一個特例，叫做向量叢,是那些纖維為向量空間的叢（要成為一個向量叢，叢的結構群—見下面—必須是一個線性群）。向量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和餘切叢。

另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。

一個球叢是一個纖維為n維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢（例如黎曼流形的切叢），可以構造一個相應的單位球叢,其在一點x的纖維是所有E_x的單位向量的集合.

截面

纖維叢的截面（section或者cross section）是一個連續映射f : B → E使得π(f(x))=x對於所有B中的x成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。

截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。纖維叢的局部截面是一個連續映射f : U → E其中U是一個B中的開集而π(f(x))=x對所有U中的x成立。若（U, φ）是一個局部平凡化圖，則局部截面在 U上總是存在的。這種截面和連續映射U → F有1-1對應。截面的集合組成一個層（sheaf）。

結構群和轉移函數

纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。特別的，令G為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間F上。不失一般性的，我們可以要求G有效的作用在F上，以便把它看成是F的同胚群。纖維叢的一個G-圖冊（E, B, π, F）是之前定義過的局部平凡化並且滿足：對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖（U_i, φ_i）和（U_j, φ_j）且 $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ ，則函數

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F

是由以下方式給出：

\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F

其中 $t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$ 是一個稱為轉移函數（transition function）的連續映射。兩個G-圖冊是等價的如果他們的聯集也是G-圖冊。一個G-叢是有G-圖冊等價類的纖維叢。群G稱為該叢的結構群（structure group）。

在光滑範疇中，一個G-叢是一個光滑纖維叢，其中G是一個李群而相應的在F上的作用是光滑的並且變換函數都是光滑映射。

轉移函數t_ij滿足以下條件

$t_{ii}(x)=1$
$t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}$
$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)$

第三個條件用到三個相交的 $U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$ 上叫做上鏈條件（cocycle condition，見Čech上同調）。

一個主叢是一個G-叢，其纖維可以認為是G本身，並且有一個在全空間上的G的右作用保持纖維不變。

參見

外部連結

PlanetMath: Fiber Bundle
MathWorld: Fiber Bundle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

參考

Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.