等變映射

在數學中，一個等變映射（equivariant map）是兩個集合之間與群作用交換的一個函數。具體地，設 G 是一個群，X 與 Y 是兩個關聯的 G-集合。一個函數 f : X → Y 稱為等變，如果

f(g·x) = g·f(x)

對所有 g ∈ G 與 x ∈ X 成立。注意如果其中一個或兩個作用是右作用，則等變條件必須適當地修改：

f(x·g) = f(x)·g ; （右-右）

f(x·g) = g⁻¹·f(x) ; （右-左）

f(g·x) = f(x)·g⁻¹ ; （左-右）

等變映射是 G-集合範疇（對一個取定的 G）中的同態。從而它們也稱為 G-映射或 G-同態。G-集合的同構就是等變雙射。

等變條件也能理解為下面的交換圖表。注意 $g\cdot$ 表示映射取元素 $z$ 得到 $g\cdot z$。

交結映射

對 G 的線性表示，由一個完全類似的定義。具體地說，如果 X 與 Y 是 G 的兩個線性表示的表示空間，則一個線性映射 f : X → Y 稱為這個表示的一個交結映射（intertinig map 或 intertwiner）如果它與 G 的作用交換。從而一個交結算子是兩個線性表示/作用時等變映射的特例。

或者，G 在域 K 上表示的交結映射與 K[G]-模的一個模同態是同一個東西，這裡 K[G]是 G 的群環。

在某些情形，如果 X 與 Y 都是不可約表示，則一個交結映射（若不是零映射）只有兩個表示等價（即作為模是同構的）時才存在。這樣的交結映射除了差一個乘法因子（K 中一個非零標量）是惟一的。這些性質當 K[G] 的像是具有中心 K d的單代數時成立（由所謂的舒爾引理：參見單模）。作為一個推論，在一些重要情形構造一個交結映射足夠證明表示同樣是有效的。

範疇描述

等變映射可以直截了當地推廣到任意範疇。任何群 G 可以視為一個具有一個對象的範疇（這個範疇中的態射就是 G 的元素）。給定任意範疇 C，在這個範疇 C 中 G 的一個表示是從 G 到 C 的一個函子。這樣一個函子選出 C 的一個對象和這個對象的自同構的一個子群。例如，一個 G-幾何等價於從 G 到集合範疇 Set 的一個函子，而線性表示等價於到一個域 K 上的向量空間範疇 Vect_K 的一個函子。

給定 G 在 C 中兩個表示， ρ 和 σ，這兩個表示之間一個等變映射不過是從 ρ 到 σ 的一個自然變換。把自然變換做為態射，我們可以構造 G 在 C 中所有表示的範疇。這恰是函子範疇 C^G。

另一個例子，取 C = Top 拓撲空間範疇。G 在 Top 中一個表示是一個拓撲空間，G 連續作用它上面。則等變映射是表示之間的一個連續映射 f : X → Y，且與 G 的作用交換。