離散幾何學

集合的圓和相應的單位圓盤圖

離散幾何和組合幾何是研究離散幾何對象的組合性質和構造方法的幾何學的分支。離散幾何的大多數問題涉及到基本幾何對象的有限集合或離散空間，比如點，線，平面，圓，球，多邊形和四維空間。這個主題集中在這些對象的組合屬性上，比如他們怎樣與另一個相交，或者，它們如何被安排來涵蓋一個更大的對象。

離散幾何與凸幾何和計算幾何有很大的重疊部分，與下列學科密切相關，如有限幾何，組合優化，數字幾何， 離散微分幾何，幾何圖論，復曲面幾何和組合拓撲。

歷史

儘管多面體和分割已經被像開普勒和柯西這樣的大數學家等人研究了多年，現代離散幾何卻源於19世紀後期。早期的研究主題是：阿克塞爾·圖厄研究的半群問題, 雷耶和斯坦尼茨研究的射影配置 、赫爾曼·閔可夫斯基研究的幾何數論，及泰特，希伍德和Hadwiger研究的四色定理。

拉斯洛*Fejes Tóth, H.S.M.考克斯特和埃爾德什·帕爾，奠定了離散幾何的基礎。

離散幾何的主題

多面體

多面體是一個有幾個平面的幾何對象，它存在於任何一般的維數。 多邊形可以是來自二維的多面體， 三維甚至更高維的多面體(例如在四的維空間上的 4-多面體 )。一些理論進一步推廣這樣的想法包括無限多面體(apeirotopes和分割)，和抽象多面體。

以下是離散幾何中多面體研究的某些方面：

• 多面體組合
• 凸晶格多面體
• 埃爾哈特多項式
• 皮克定理
• 赫希猜想

包裝、覆蓋和平鋪

包裝、覆蓋，平鋪，是以一個規則的方式在平面或多面上安排統一對象的所有方式(典型的有圈，圓域，或鋪)。

球體包裝是在容納空間內的非重疊球體的排列。所考慮的圓域通常是規模一致、且該空間通常是三維歐幾里德空間。然而，球體包裝問題可以大致地被認為是不平衡域，像n維-歐幾里德空間(在那裡，問題變成二維的圈包裝，或更高維的超球空間)，或非歐幾里德空間，例如雙曲空間。

平坦面上的鑲嵌是用一個或多個幾何形狀以沒有重疊和間隙的方式來分割平坦的曲面，稱為「鋪」。在數學中，鑲嵌可以推廣到更高維。

該領域的具體主題還包括：

• 圓包裝
• 最密堆積
• 克卜勒猜想
• 准晶體
• 非周期性平鋪
• 周期圖（幾何）
• 有限的細分規則

結構剛性和柔性

圖表繪製通過旋轉鉸鏈相連的杆連接。 該循環圖 C₄ （由藍色箭頭表示）形成一個方形可被壓成一個平行四邊形，因此它是一個柔性圖。 K_{3（由紅色箭頭表示）}，為一個三角形，任何力量作用於它都不能改變它的形狀，因此它是一個剛性圖。

結構剛性是組合數學的分支，預測由若干個靈活的連杆結構或鉸鏈連接而成的物體，形狀靈活可變抑或固定。

該主題包括：

• 柯西定理
• 柔性多面體

關聯結構

在Fano面中七個點是七條線的元素，一個關聯結構的例子。

關聯結構形成平面(如仿射、射影平面、有限反演平面)正如從公理的定義中看到的那樣。 關聯的結構還形成了更高維的類似物和有時被稱為有限幾何的有限結構。

從形式上看，一個關聯結構是一個三元組

$C=(P,L,I),$

其中P是「點」集，L是「線」集，$I\subseteq P\times L$是點與線之間的重合關係。I中的元素稱為標記。若

$(p,l)\in I,$

則稱點p「位於」線l上。

主題延伸：

• 構形
• 直線佈置
• 超平面佈置
• 廈

面向陣

 面向陣 是一個提取了有向圖的抽象屬性和向量空間上的矢量在有序域 (尤其是有序的矢量空間)上的排列的數學結構。 比較而言，一個普通(即非定向的)擬陣提取了線性無關屬性，兩者在圖上不一定具有導向性，在矢量域的排列上，不一定有序的。

幾何圖論

幾何圖 是一個由頂點和邊緣連接而成的與幾何學相關的圖。實例包括歐幾里德圖，1-骨架 的多面體或多胞形，相交圖以及可視性圖。

主題延伸：

• 圖表繪製
• 多面圖
• 沃羅諾伊圖 與 德勞內三角化

單純復形

單純復形屬拓撲空間的一種，將 點，線段，三角形「粘合在一起」建造起來，形成 n-維的對應方 (見圖)。 不要將單純復形與現代單純同倫論中出現的更抽象的概念單純集合混淆。單純復形的純粹的組合對應是一個抽象的單純復形。

拓撲組合

拓撲組合學採用拓撲學中組合的概念，並在20世紀初期併入到代數拓撲的領域。

在1978年，當洛瓦茲·拉茲洛證明Kneser猜想的時候，用代數拓撲解決組合數學問題的方法的情況逆轉，因而開始拓撲組合新的研究。洛瓦茲在博蘇克-烏拉姆定理使用了這個理論且該理論在該新領域保留着關鍵性的作用。這個定理有許多相關版本及類似物且已被用於公平分割分配的研究中。

主題延伸：

• 斯內爾定理
• 定期地圖（圖論）

格和離散組

一個離散組是一個裝有離散的拓撲結構的群 G 。在該拓撲下，G成為一個拓撲群。 一個拓撲群G的離散組是一個子群H，其相對化拓撲（子空間拓撲）是分立的。例如，整數Z，形成離散子群實R (在度量空間的標準下)，但有理數Q做不到這樣。

局部緊緻拓撲群的格是一個離散群，其商空間具有有限不變量。特殊的集群例子 Rⁿ，它相當於通常的幾何概念的一個格，格的代數結構和幾何整體的所有格二者都比較好理解。阿爾芒波萊爾, 哈里什 - 錢德拉，喬治·丹尼爾·莫斯托，玉河恆夫，M. S. Raghunathan，格列戈里·馬爾古利斯，羅伯特·傑弗里·齊默等人從20世紀50年代至20世紀70年代提供的案例和形成的眾多理論中獲得更深的結論來在局部域設置冪零李群和約化群。在20世紀90年代，海曼·貝斯和 Alexander Lubotzky 開始研究樹格，該領域至今是一個活躍的研究領域。

主題延伸：

• 反射群體
• 三角團

數字幾何

數字幾何處理離散空間組(通常是分散點集)被認為是歐幾里德空間的2D或3D數字化的模型或圖片的對象。

簡單地說，數字化正在用一組離散的點來替代事物。我們從電視屏幕上看到的圖像， 計算機或者報紙上的光柵顯示，都是實際上的數字圖像。

其主要應用領域是計算機圖形和圖像分析。

離散微分幾何

離散微分幾何是研究微分幾何里離散變換的概念。有多邊形， 網格，和單純復形，而不是光滑的曲線和曲面，它被用在計算機圖形和拓撲組合的研究中。

相關主題：

• 分立拉普拉斯算子
• 離散的微積分的外觀
• 離散莫爾斯理論
• 拓撲組合
• 光譜形狀分析
• 抽象微分幾何
• 分形分析

其他

• 離散和計算幾何（期刊）
• 離散數學
• 埃爾德什·帕爾

參考文獻

• Bezdek, András,. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker. 2003. ISBN 0-8247-0968-3. 
• Bezdek, Károly. Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer. 2010. ISBN 978-1-4419-0599-4. 
• [[Károly Bezdek|Bezdek, Károly, Károly]]; Deza, Antoine; Ye, Yinyu. Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side. New York, N.Y: Springer. 2013. ISBN 978-1-4614-8117-1. 
• Bezdek, Károly; Deza, Antoine; Ye, Yinyu. Discrete Geometry and Optimization. New York, N.Y: Springer. 2013. ISBN 978-3-319-00200-2. 
• Brass, Peter; Moser, William; Pach, János. Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer. 2005. ISBN 0-387-23815-8. 
• Pach, János; Agarwal, Pankaj K. Combinatorial geometry. New York: Wiley-Interscience. 1995. ISBN 0-471-58890-3. 
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• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursions into Combinatorial Geometry. Springer. 1997. ISBN 3-540-61341-2.