相似矩陣

在線性代數中，相似矩陣（英語：similar matrix）是指存在相似關係的矩陣。相似關係是兩個矩陣之間的一種等價關係。兩個n×n矩陣A與B為相似矩陣當且僅當存在一個n×n的可逆矩陣P，使得：

$\!P^{-1}AP=B$

P被稱為矩陣A與B之間的相似變換矩陣。

相似矩陣保留了矩陣的許多性質，因此許多對矩陣性質的研究可以通過研究更簡單的相似矩陣而得到解決。

判斷兩個矩陣是否相似的輔助方法：

1.判斷特徵值是否相等； 2.判斷行列式是否相等； 3.判斷跡是否相等； 4.判斷秩是否相等； 以上條件可以作為判斷矩陣是否相似的必要條件，而非充分條件。

嚴格定義

兩個係數域為K的n×n的矩陣A與B為域L上的相似矩陣當且僅當存在一個係數域為L的n×n的可逆矩陣P，使得：

$\!P^{-1}AP=B$

這時，稱矩陣A與B「相似」。B稱作A通過相似變換矩陣：P得到的矩陣。術語相似變換的其中一個含義就是將矩陣A變成與其相似的矩陣B。

性質

相似變換是矩陣之間的一種等價關係，也就是說滿足：

1. 反身性：任意矩陣都與其自身相似。
2. 對稱性：如果A和B相似，那麼B也和A相似。
3. 傳遞性：如果A和B相似，B和C相似，那麼A也和C相似。

矩陣間的相似關係與所在的域無關：設K是L的一個子域，A和B是兩個係數在K中的矩陣，則A和B在K上相似當且僅當它們在L上相似。這個性質十分有用：在判定兩個矩陣是否相似時，可以隨意地擴張係數域至一個代數閉域，然後在其上計算若爾當標準形。

如果兩個相似矩陣A和B之間的轉換矩陣P是一個置換矩陣，那麼就稱 A和B「置換相似」。 如果兩個相似矩陣A和B之間的轉換矩陣P是一個酉矩陣，那麼就稱 A和B「酉相似」。譜定理證明了每個正規矩陣都酉相似於某個對角矩陣。

相似變換下的不變性質

兩個相似的矩陣有許多相同的性質：

• 兩者的秩相等。
• 兩者的行列式值相等。
• 兩者的跡數相等。
• 兩者擁有同樣的特徵值，儘管相應的特徵向量一般不同。
• 兩者擁有同樣的特徵多項式。
• 兩者擁有同樣的初等因子。

這種現象的原因有兩個：

• 兩個相似的矩陣可以看做是同一個線性變換的「兩面」，即在兩個不同的基下的表現。
• 映射X $\mapsto$ P⁻¹XP是從n階方陣射到n階方陣的一個雙射同構，因為P是可逆的。

因此，在給定了矩陣A後，只要能找到一個與之相似而又足夠「簡單」的「規範形式」B，那麼對A的研究就可以轉化為對更簡單的矩陣B的研究。比如說A被稱為可對角化的，如果它與一個對角矩陣相似。不是所有的矩陣都可以對角化，但至少在複數域（或任意的代數閉域）內，所有的矩陣都相似於一些被稱為若爾當標準形的簡單的矩陣。另一種標準形：弗羅貝尼烏斯標準形則在任意的域上都適用。只要查看A和B所對應的標準形是否一致，就能知道兩者是否相似。

參見

• 合同矩陣
• 正則形式
• 等價矩陣

外部連結

• 相似矩陣
• 相似矩陣的特徵值