球面像差

球面像差（英語：SA/Spherical aberration），是指發生在經過透鏡折射或面鏡反射的光線，接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在望遠鏡和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透鏡和面鏡必須滿足所需的形狀，否則不能聚焦在一個點上造成的。球面像差與鏡面直徑的四次方成正比，與焦長的三次方成反比，所以他在低焦比的鏡子，也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡，當焦比低於f/10時，來自遠處的點光源（例如恆星）就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦，這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中，可以使用凸透鏡和凹透鏡的組合來減少球面像差，就如同使用非球面透鏡一樣。

球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)
一個點光源在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像
平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側
來自球面鏡的球面像差

球面像差公式

單球面

一個球面，PA 為由球面頂點到非近軸光線入射點距離，球面左右介質的折射率分別為n，n'；非近軸入射角，折射角分別為J，J'；非近軸入射線和折射線與光軸的夾角分別為U，U'；近軸光線的入射角為i；這個球面對球面像差的貢獻為^[1]

球面像差= ${\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}$

在四種情況下，球面像差為零：

PA=0：物體和像與球面頂點重合；
I'=I：物體和物象在球面的曲率中心；
i=0；
I=U'或I'=U：在這種情形下的球面成為消球差曲面。

消球差球面

根據球面折射的基本方程可以導出^[2]：

$L={\frac {r*(n+n')}{n}}$

$L'={\frac {r*(n+n')}{n'}}$

對於消球差曲面，凡是射向同一點B入射光，其折射線與光軸相交於一個共同點B'。

$BC=L-r=r*{\frac {n}{n'}}$

$BC=L'-r=r*{\frac {n'}{n}}$

例如，n=1，n'=1.5^[3]。

$L=2.5*r$

$L'=1.6667*r$

消球差曲面多用於高倍率顯微鏡的物鏡^[4]^[3]。一個消球差薄透鏡由一個消球差球面和一個平面鏡組成，對於平行光。消球差薄透鏡等同一塊平板玻璃，對於聚合光束，消球差薄透鏡增加光束的聚合度，對於發散光束，消球差薄透鏡增加光束的發散度^[5]。

同軸球面系

對於一個由多個球面組成鏡頭，球面像差由以下公式給出^[6]：

LA'=trans+newsp

其中 trans= ${\frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}$

newsp= $\sum _{k=1}^{k}({\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}$

球面像差展開式

球面像差可表示為

LA'= $a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+$ ………………^[7]^[8]。其中Y是入射光線的在球面入射點到光軸的距離。

薄透鏡組的球面像差

亞歷山大·尤金·康拉迪推導出薄透鏡組的球面像差公式如下^[9]^[10]:

SC= ${\frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$ 。

其中「0」代表最後的結果，Σ代表對各鏡片之和

c={\frac {1}{f*(n-1)}}

c={\frac {1}{r_{1}}}

G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}

G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)

G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)

G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)

G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)

G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)

薄透鏡的球面像差

對於單薄鏡片，上式可簡化為^[11]。

單鏡片的球面像差=LA'= $-y^{2}*l'^{2}*(\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$

令上式對c_1的導數為零，可求得單鏡片具有最小球面像差的條件^[12]:

${\frac {dLA'}{dc_{1}}}$ = $-y^{2}*l'^{2}*(-G_{2}*c^{2}+2*G_{4}*c*c_{1}-G_{5}*c*v_{1})=0$

即 $c_{1}={\frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}$ = ${\frac {0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_{1}}{n+2}}$ .

當物距為無窮遠時，v_1=0;

於是

${\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}$ ^[13]。


n	r_1/r_2
1.5	-6
1.518	-6.7374
1.6	-14
1.7	93.5
1.8	12.1765
2	5
3	1.9
4	1.5

參考文獻

^ Kingslake p104
^ Rudolf Kingslake p104-105
^ ^3.0 ^3.1 Rudolf Kingslake p105
^ Moritz von Rohr p244
^ Rudolf Kingslake p106
^ Rudolf Kingslake p104
^ A.E.Conrady p101
^ Kingslake p114
^ Alexander Eugen Conrady, p95
^ Kingslake p117
^ Kingslake p118
^ Kingslake, p118
^ Kingslake p119

von Rohr莫里茲·馮·羅爾, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.

Conrady亞歷山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.

Kingslake 魯道夫·京斯萊克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.

閱論編光學像差
散焦（英語：Defocus aberration）
傾斜像差（英語：Tilt (optics)）
球面像差
像散
彗形像差
畸變
佩茲瓦爾像場彎曲
色差

閱論編應用光學
原理	光路計算球面折射阿貝正弦條件
像差	色差球面像差彗形像差畸變像散佩茲瓦爾像場彎曲
透鏡	薄透鏡庫克三分離物鏡天塞鏡頭普拉納結構

球面像差公式

球面像差展開式

薄透鏡組的球面像差

薄透鏡的球面像差

參考文獻

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