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牛頓法

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牛頓法(英語:Newton's method)又稱為牛頓-拉弗森方法(英語:Newton-Raphson method),它是一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。方法使用函數泰勒級數的前面幾項來尋找方程的根。

起源

牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛頓去世後於1736年公開發表)中提出。約瑟夫·鮑易也曾於1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法說明

藍線表示方程而紅線表示切線。可以看出更靠近所要求的根

首先,選擇一個接近函數零點,計算相應的和切線斜率(這裡表示函數導數)。然後我們計算穿過點並且斜率為的直線和軸的交點的坐標,也就是求如下方程的解:

我們將新求得的點的坐標命名為,通常會比更接近方程的解。因此我們現在可以利用開始下一輪迭代。迭代公式可化簡為如下所示:

已有證明牛頓迭代法的二次收斂[1]必須滿足以下條件:
; 對於所有,其中為區間[αr, α + r],且在區間其中內,即 的;
對於所有是連續的;
足夠接近根 α

然而當處有m重根時,這時牛頓法會降為線性收斂,雖然使用牛頓法也可以繼續算下去,但收斂速度會減慢。[2]

其它例子

第一個例子

求方程的根。令,兩邊求導,得。由於,則,即,可知方程的根位於之間。我們從開始。

第二個例子

牛頓法亦可發揮與泰勒展開式,對於函式展開的功能。

次方根。

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛頓法來迭代:

(或

應用

求解最值問題

牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函數的零點,其疊代式為

求拐點的公式以此類推

電腦程式

可以用程式寫出牛頓法:

例題: 求x

用Python:

from math import pow
def f(x):
    y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1
    return y
def dx(x):
    y = (3*x*x)-(20*x)+1
    return y
x = 1
for i in range(1000):
    x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)

用C語言:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
    double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1;
    return y;}
double dx(double x){
    double y = (3*x*x)-(20*x)+1;
    return y;}
int main (){
    for(int i=0;i<1000;i++){
    x = x - (f(x)/dx(x));}
    printf(" %f",x);
    return 0;
}

只要修改f(x)和dx(x)函數就可以解其他方程式

註解

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2018-06-26]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-04-24). 
  2. ^ 張宏偉,金光日,施吉林,董波 (編). 计算机科学计算 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 138. ISBN 9787040365955. 

外部連結