牛頓多項式

牛頓多項式（英語：Newton Polynomial）是數值分析中一種用於插值的多項式，以英格蘭數學家暨物理學家牛頓命名。

定義

給定包含$k+1$個數據點的集合$(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$。

如果對於$\forall i,j\in \left\{0,...,k\right\},i\neq j$，滿足$x_{i}\neq x_{j}$，那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為

$N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)$

其中每個$n_{j}(x)$為牛頓基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為

$n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})$

其中$j>0$，並且$n_{0}(x)\equiv 1$。

係數$a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]$，而$[y_{0},\ldots ,y_{j}]$表示差商。

差商表（高階差商是兩個低一階差商的差商）

	$0$階差商	$1$階差商	$2$階差商	$3$階差商	$\ldots$	$k-1$階差商
$x_{0}$	$f[x_{0}]$
$x_{1}$	$f[x_{1}]$	$f[x_{0},x_{1}]$
$x_{2}$	$f[x_{2}]$	$f[x_{1},x_{2}]$	$f[x_{0},x_{1},x_{2}]$
$x_{3}$	$f[x_{3}]$	$f[x_{2},x_{3}]$	$f[x_{1},x_{2},x_{3}]$	$f[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$
$x_{k}$	$f[x_{k}]$	$f[x_{k-1},x_{k}]$	$f[x_{k-2},x_{k-1},x_{k}]$	$f[x_{k-3},x_{k-2},x_{k-1},x_{k}]$	$\ldots$	$f[x_{0},\ldots ,x_{k}]$

因此，牛頓多項式可以寫作：

$N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1})$

參見

• 插值
• 多項式插值
• 拉格朗日插值法