洛朗級數

在數學中，複變函數f(z)的洛朗級數（英語：Laurent series），是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。洛朗級數是由皮埃爾·阿方斯·洛朗在1843年首次發表並以他命名的。卡爾·魏爾斯特拉斯可能是更早發現這個級數的人，但他1841年的論文在他死後才發表於世。

函數f(z)關於點c的洛朗級數由下式給出：

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

其中a_n是常數，由以下的曲線積分定義，它是柯西積分公式的推廣：

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,$

積分路徑γ是位於圓環A內的一條逆時針方向的可求長曲線，把c包圍起來，在這個圓環內$f(z)$是全純的（解析的）。$f(z)$的洛朗級數展開式在這個圓環內的任何地方都是正確的。在右邊的圖中，該環用紅色顯示，其內有一合適的積分路徑$\gamma$ 。如果我們讓$\gamma$是一個圓$|z-c|=\varrho$ ，其中$r<\varrho <R$ ，這就相當於要計算的限制到$\gamma$上$f$的複傅里葉係數。這些積分不隨輪廓$\gamma$的變形而改變是斯托克斯定理的直接結果。

在實踐中，上述的積分公式可能不是計算給定的函數$f(z)$係數$a_{n}$最實用的方法；相反，人們常常通過拼湊已知的泰勒展開式來求出洛朗級數。因為函數的洛朗展開式只要存在就是唯一的 ，實際上在圓環中任何與$f(z)$相等的，以上述形式表示的給定函數的表達式一定就是$f(z)$的洛朗展開式。

收斂洛朗級數

復係數洛朗級數是複分析中的一個重要工具，尤其在研究函數奇點附近的行為時。

e^−1/x2和洛朗近似：見文中解釋。隨着洛朗級數負次數的增長，圖像接近正確的函數。

e^−1/x2和洛朗近似的負次數的增長。奇點零的鄰域不能被近似。

考慮例如函數

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{ 若 }}x\neq 0,\\0,&{\text{ 若 }}x=0.\end{cases}}$

作為實變函數，它是處處無窮可微的；但作為一個複變函數，在x 等於 0處不可微。用−1/x²替換指數函數的冪級數展開式中的x，我們得到其洛朗級數，對於除了奇點X = 0以外的所有複數，它都收斂並等於ƒ(x)。旁邊的圖顯示了對於N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7到80，e^−1/x2（黑色）和它的洛朗近似

$\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}.$

當N → ∞，近似對除了奇點x = 0處的所有複數x都很精確。

更一般地，洛朗級數可以用來表達定義在圓環上的全純函數，就像冪級數被用於表達一個圓盤上定義全純函數一樣。

參看

• Z轉換
• 傅立葉級數
• 帕德近似

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Laurent series, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Laurent_Pierre, MacTutor數學史檔案 （英語） 
• 埃里克·韋斯坦因. Laurent Series. MathWorld. 
• 洛朗級數的教程