水平集

在數學領域中, 一個具有n變量的實值函數f的水平集是具有以下形式的集合

{ (x₁,...,x_n) | f(x₁,...,x_n) = c }

其中 c 是常數. 即, 使得函數值具有給定常數的變量集合.

當具有兩個變量時, 稱為水平曲線(等高線), 如果有三個變量, 稱為水平曲面, 更多變量時, 水平集被叫做水平超曲面.

集合

{ (x₁,...,x_n) | f(x₁,...,x_n) ≤ c }

被稱為 f 的 子水平集 .

其他名字

水平集具有很多重要的應用, 在不同的應用領域通常具有不同的名稱.

例如, 水平曲線也被叫做隱式曲線(implicit curve)用來強調曲線是由隱函數(implicit function)定義的. 有時也使用等高線(isocontour)的名稱, 表示一個具有相同高度(函數值)的輪廓. 在不同的應用領域, 等壓線(isobar), 等溫線(isotherm), 同風向線(isogon), 等時線(isochrone)都屬於等值高線.

相應的, 水平曲面有時被叫做隱式曲面(implicit surface)或等值曲面(isosurface).

最後, 更加一般的水平集被叫做纖維(fiber).

例子

例如, 指定一個半徑 r, 圓的方程可以定義為一個等高線.

r²=x² + y²

如果取 r=5, 那麼等高值為 c=5²=25.

所有使得 x² + y²=25 的點 (x,y) 構成了它的等高線. 這就是說他們屬於等高線的水平集. 如果 x² + y² 小於 25 這個點 (x,y) 就在等高線的內部. 如果大於 25 , 這個點就在等高線外部.

水平集與梯度

考慮一個山形函數. 藍色曲線是它的水平集. 紅色曲線沿着梯度的方向. 換句話說, 保守的旅行者走的是藍色路徑, 大膽的旅行者走的是紅色路徑.

定理. 函數f在一點處的梯度與在該點處 f 的水平集垂直.

這個定理是十分不尋常的. 為更好的理解定理的含義, 設想兩個旅行者在一座山峰的同一位置.其中一個人很大膽, 決定從坡度最大的地方走. 另一個人比較保守; 他不想向上爬, 也不想走下去, 選擇了一條在同一高度的路. 上面的定理就是說, 這兩個旅行者相互離開的方向是互相垂直的.

證明. 設所考慮的點為 x₀ . 通過點 x₀ 的水平集是 {x | f(x) = f(x₀)}. 考慮一條通過點x₀並且屬於水平集的曲線 γ(t) , 不妨假設 γ(0) = x₀. 從而得到

f({\mathbf {\gamma } }(t))=f({\mathbf {x} _{0}})=c.

使用鏈式法則, 在 t = 0 處微分. 我們發現

J_{f}({\mathbf {x} _{0}}){\mathbf {\gamma } }'(0)=0.

同時, f 在 x₀ 處的雅可比行列式等於 f 在點 x₀ 的梯度.

\nabla f({\mathbf {x} }_{0})\cdot {\mathbf {\gamma } }'(0)=0.

因此, f 在點 x₀ 處的梯度與曲線在該點處的切線 γ′(0) 垂直. 由於曲線 γ(t) 是任意的, 因而斷定梯度與水平集垂直. Q.E.D.

這一定理的直接推論是, 如果水平集穿過其自身 (不是一個光滑子流形或超曲面) 那麼梯度向量在所有交叉點處一定是零. 那麼, 每個交叉點都是f的臨界點.

參考資料