畢奧-薩伐爾定律
- 本條目中,向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{r}\,\!} 表示;而其大小則用 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「」;源變數的標記的後面有單撇號「解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle '\,\!} 」。
在靜磁學裏,必歐-沙伐定律(Biot-Savart Law)以方程式描述,電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似,當電流緩慢地隨時間而改變時(例如當載流導線緩慢地移動時),這定律成立,磁場與電流的大小、方向、距離有關[1]。必歐-沙伐定律是以法國物理學者讓-巴蒂斯特·畢奧與菲利克斯·沙伐命名。
必歐-沙伐定律表明,假設源位置為解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{r}'} 的微小線元素有電流,則解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' } 作用於場位置解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{r}} 的磁場為
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}} ;
其中,是微小磁場(這篇文章簡稱磁通量密度為磁場),解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mu_0} 是磁常數。
已知電流密度,則有:
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\ \mathrm{d}^3{r}'} ;
其中,解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathrm{d}^3{r}'} 為微小體積元素,是積分的體積。
在流體力學中,以渦度對應電流、速度對應磁場強度,便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線(vortex line)導出的速度。
概念
必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷,電流量不隨時間而改變,電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制,用方程式表示,
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \int_{\mathbb{L}'} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}} ;
其中,解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle I } 是源電流,解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbb{L}'} 是積分路徑,是源電流的微小線元素。
應用這方程式,必須先選出磁場的場位置。固定這場位置,積分於源電流的路徑,就可以計算出在場位置的磁場。請注意,這定律的應用,隱性地依賴著磁場的疊加原理成立;也就是說,每一個微小線段的電流所產生的磁場,其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場,疊加原理成立,因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說,它們是馬克士威方程組的解答。
當電流可以近似為流過無窮細狹導線,上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的,則可用包含導線體積的積分方程式:
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'} ;
其中,是電流密度,解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathrm{d}^3 r'} 是微小體積元素。
必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律,在靜磁學的地位,類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係,則如庫侖定律之於高斯定律。
假若無法採用靜磁近似,例如當電流隨著時間變化太快,或當導線快速地移動時,就不能使用必歐-沙伐定律,必須改用傑斐緬柯方程式。
等速運動的點電荷所產生的電場和磁場
由於點電荷的運動不能形成電流,所以,必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle q} 以等速度移動,在時間解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle t} 的位置為。那麼,麥克斯韋方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場:
- 、
- ;
其中,解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \theta} 是解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{v}} 和解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{r} - \mathbf{w}} 之間的夾角。
當解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle v^2 \ll c^2} 時,電場和磁場可以近似為
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3} } 、
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B} =\frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3} } 。
這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來,稱為必歐-沙伐點電荷定律[2]。
安培定律和高斯磁定律的導引
這裏,我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律[1][2]。若想查閱此證明,請點選「顯示」。
證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場,永遠滿足高斯磁定律: 首先,列出必歐-沙伐定律, - 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}} 。
應用一個向量恆等式,
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)} ,
將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標,可以將梯度移到積分外:
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}} 。
應用一個向量恆等式,
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0} 。
所以,高斯磁定律成立:
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{B}=0} 。
證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場,永遠滿足安培定律: 首先,列出必歐-沙伐定律: - 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}} 。
任意兩個向量解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbf{A}_1} 和的叉積,取其旋度,有以下向量恆等式,:
- ,
取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊,稍加運算,可以得到
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\mathbf{J}(\mathbf{r}')\left[\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}'|^3}\right] \right\}} 。
應用著名的狄拉克δ函數關係式
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}= 4\pi \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')} ,
可以得到
- 。
注意到x-分量,
- 解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} =\nabla'\cdot\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right] - \frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}') } 。
由於電流是穩定的,解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \nabla^'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}') =0} ,所以,
- ;
其中,是一個微小源面積元素,是體積解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \mathbb{V}'} 外表的閉曲面。
這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分,只與體積內所包含的被積函數,或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小,我們可以增大這體積,一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入,也就是說,電流密度等於零。這樣,就可以得到安培定律。
- 。
參閱
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.
- ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
- 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義II(2)介電質、磁與感應定律. 台灣: 天下文化書. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.
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