次導數

凸函數（藍）和x₀處的「次切線」（紅）

次導數（英語：subderivative）、次微分（英語：subdifferential）、次切線（英語：subtangent lines）和次梯度（英語：subgradient）的概念出現在凸分析，也就是凸函數的研究中。要注意的是，次切線（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。

設f:I→R是一個實變量凸函數，定義在實數軸上的開區間內。這種函數不一定是處處可導的，例如絕對值函數f(x)=|x|。但是，從右面的圖中可以看出（也可以嚴格地證明），對於定義域中的任何x₀，我們總可以作出一條直線，它通過點(x₀, f(x₀))，並且要麼接觸f的圖像，要麼在它的下方。這條直線的斜率稱為函數的次導數。

定義

凸函數f:I→R在點x₀的次導數，是實數c使得：

$f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})$

對於所有I內的x。我們可以證明，在點x₀的次導數的集合是一個非空閉區間[a, b]，其中a和b是單側極限

$a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

它們一定存在，且滿足a ≤ b。

所有次導數的集合[a, b]稱為函數f在x₀的次微分。

例子

考慮凸函數f(x)=|x|。在原點的次微分是區間[−1, 1]。x₀<0時，次微分是單元素集合{-1}，而x₀>0，則是單元素集合{1}。

性質

• 凸函數f:I→R在x₀可導，當且僅當次微分只由一個點組成，這個點就是函數在x₀的導數。

• 點x₀是凸函數f的最小值，當且僅當次微分中包含零，也就是說，在上面的圖中，我們可以作一條水平的「次切線」。這個性質是「可導函數在極小值的導數是零」的事實的推廣。

次梯度

次導數和次微分的概念可以推廣到多元函數。如果f:U→ R是一個實變量凸函數，定義在歐幾里得空間Rⁿ內的凸集，則該空間內的向量v稱為函數在點x₀的次梯度，如果對於所有U內的x，都有：

$f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0})$

所有次梯度的集合稱為次微分，記為∂f(x₀)。次微分總是非空的凸緊集。

參見

• 弱導數

參考文獻

• Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.