模型論

模型論（英語：Model theory）一般是指數學中集合論的論述角度對數學概念表現（representation）的研究，或者說是對於作為數學形式系統基礎的「模型」的研究。粗略地說，該學科假定有一些既存的數學抽象對象(abstract objects)，然後研究：當這些對象之間的一些運算或者一些關係乃至一組公理被給定時，可以相應證明出什麼，以及如何證明。

比如實數理論中一個模型論概念的例子是：我們從一個任意集合開始，作為集合元素的每個個體都是一個實數，其間有一些關係和（或）函數，例如{ ×, +, −, ., 0, 1 }。若我們在該語言中問"∃ y (y × y = 1 + 1)"這樣一個問題，顯然該陳述對實數而言成立 - 確實存在這樣的一個實數y,即所謂2的平方根；對於有理數，該陳述卻並不成立。一個類似的命題，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在實數中不成立，卻在複數中成立，因為i × i = 0 − 1。

模型論研究什麼是在給定的數學系統中可證的，以及這些系統相互間的關係。它特別注重研究當我們試圖通過加入新公理和新語言構造時會發生什麼。

現在模型論（及其方法）已經廣泛地應用於其它數學分支甚至理論計算機與工程計算中。例如艾胡德·赫魯紹夫斯基用模型論方法證明了代數幾何中的Mordell-Lang猜想(Mordell–Lang conjecture)。

定義

結構被形式的定義於某個語言L的上下文中，它由常量符號的集合，關係符號的集合，和函數符號的集合組成。在語言L上的結構，或L-結構，由如下東西組成：

一個全集或底層集合A，它包含所有感興趣的對象（"論域"），
給L的每個常量符號一個在A中元素，
給L的每個n價函數符號一個從Aⁿ到A的函數，和
給L的每個n價關係符號一個在A上的n-元關係（換句話說，Aⁿ的一個子集）。

函數或關係的價有時也叫做元數（術語"一元"、"二元"和"n-元"中的那個元）。

在語言L中的理論，或L-理論，被定義為L中的句子的集合。如果句子的集合閉合於通常的推理規則之下，則被稱為閉合理論。例如，在某個特定L-結構下為真的所有句子的集合是一個閉合L-理論。

L-理論T的模型由在其中T的所有句子都為真的一個L-結構組出，它通常用T-模式的方式定義。

理論被稱為可滿足的，如果它有模型。

例如，偏序的語言有一個二元關係≥。因而偏序的語言的結構就是帶有≥所指示的二元關係的一個集合；如果此外它還滿足偏序的公理，則它是偏序的理論的模型。

定理

哥德爾完備性定理表明理論有一個模型當且僅當它是一致的，也就是說沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因為它使得我們能夠通過檢視模型回答關於理論的問題，反之亦然。不要把完全性定理和完備理論的概念混淆。一個完備的理論是包含每個句子或其否命題的理論。重要的是，一個完備的協調理論可以通過擴展一個協調的理論得到。

緊緻性定理說一組語句S是可滿足的（即有一個模型）當且僅當S的每一個有限子集可滿足。在證明理論的範圍內類似的定義是下顯而易見的，因為每個證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的範疇內這個證明就更困難了。目前已知的有兩個證明方法，一個是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個是阿納托利·伊萬諾維奇·馬爾采夫提出的（這個更直接，並允許我們限制最後模型的基數）。

模型論一般與一階邏輯有關。許多模型論的重要結果（例如哥德爾完備性定理和緊緻性定理）在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對於一個可數的語言，任何理論都有可數的模型。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達，它說對於任何可數的語言中的任何有一個無限模型都有一個可數的初等子模型。

莫雷（Morley）證明了著名的範疇定理。即對於可數語言的任何可數完備理論，如果它在某個不可數基數上是範疇的，則它在所有不可基數上都是範疇的。這個定理極大的刺激了模型論的發展，產生了後來對穩定理論（英語：stable theory）的研究。

近來模型論更加着重於對於其它數學分支，尤其是代數和代數幾何的應用。

參考文獻

Wilfrid Hodges, A shorter model theory (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1

參見