極小多項式

此條目介紹的是抽象代數中的概念。關於線性代數中旳類似概念，請見「極小多項式 (線性代數)」。

在抽象代數中，一個域上的代數元 $\alpha$ 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 $P(\alpha )=0$ 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) $P$。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

形式定義

設 $k$ 為一個域，$A$ 為有限維 $k$-代數。對任一元素 $\alpha \in A$，集合 $\{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}$ 張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：

$\sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)$

可以假設 $c_{n}=1$，此時多項式 $f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$ 滿足 $f(\alpha )=0$。根據多項式環裡的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為 $\alpha$ 的極小多項式。

由此可導出極小多項式的次數等於 $\dim _{k}k[\alpha ]$，而且 $\alpha$ 可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時 $\alpha ^{-1}$ 可以表成 $\alpha$ 的多項式。

矩陣的極小多項式

考慮所有 $n\times n$ 矩陣構成的 $k$-代數 $M_{n}(k)$，由於 $\dim M_{n}(k)=n^{2}$，此時可定義一個$n\times n$ 矩陣之極小多項式，而且其次數至多為 $n^{2}$；事實上，根據凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為 $n$，且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論（若爾當標準型、有理標準形）的關鍵。

極小多項式與代數擴張

設 $k'$ 為 $k$ 的有限擴張，此時可視 $k'$ 為有限維 $k$-代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的跡數及範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。