格奧爾格·康托爾

格奧爾格·康托爾 Georg Cantor
出生	Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-03-03)1845年3月3日 俄羅斯帝國聖彼得堡
逝世	1918年1月6日(1918歲—01—06)（72歲） 德意志帝國薩克森省薩勒河畔哈勒
居住地	俄羅斯帝國（1845年－1856年） 德意志帝國（1856年－1918年）
國籍	德國
母校	瑞士聯邦理工學院 柏林大學
知名於	集合論
配偶	Vally Guttmann（1874年結婚）
獎項	西爾維斯特獎章（1904年）
科學生涯
研究領域	數學
機構	哈勒大學
論文	De aequationibus secundi gradus indeterminatis（1867）
博士導師	恩斯特·庫默爾 卡爾·魏爾施特拉斯

格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾（德語：Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日），出生於俄國的德國數學家（波羅的海德國人）。他創立了現代集合論，是實數系以至整個微積分理論體系的基礎，還提出了勢和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明了實數比自然數更多。康托爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了「無限的無窮」 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康托爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康托爾提出的超越數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理論，且以利奧波德·克羅內克為首的眾多數學家長期攻擊。克羅內克反對代數數為可數的，而超越數為不可數的證明。

康托爾本身是一位虔誠的路德派，相信這個理論是經由上帝傳達給他；但一些基督教神學家認為康托爾的理論，是在挑戰神學中只有上帝才具有絕對而唯一的無限性質。康托爾自 1869年任職於德國哈勒大學直到 1918年在哈勒大學附屬精神病院逝世；他的抑鬱症一直再發的病因，被歸咎於當代學界的敵對態度，儘管有人將這些事件解釋為，是他本人所患有的情感雙極障礙的病徵。他所受到的嚴厲攻擊，與後來的讚譽相匹配：在 1904年倫敦皇家學會授予他西爾維斯特獎章，這是皇家學會可授予數學研究者的最高榮譽。

在康托爾死後數十年，維特根斯坦撰文哀悼昔時學術界指責「集合論是假借通過數學而有害處的方言」的氛圍，他認為那是「可笑」和「錯誤」的「完全無稽之談」。當代數學家絕大多數接受康托爾的理論，並認為這是數學史上一次重要的變革。大衛·希爾伯特說：「沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去。」（原文另譯：我們屏息敬畏地自知在康托所鋪展的天堂裡，不會遭逢被驅逐出境的。）

生平

青年時期

1870年左右的康托爾

康托爾1845年出生於俄國聖彼得堡的商人殖民地，並在城裡生活直到他十一歲，他父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。他是六個孩子中最年長的一個，被認為是一位傑出的小提琴手。他的祖父弗蘭茲伯姆（Franz Böhm, 1788-1846，小提琴家約瑟夫·伯姆的兄弟）是俄羅斯帝國管弦樂團的著名音樂家和獨奏家。康托爾的父親曾是聖彼得堡證券交易所的成員；當他生病時，為了尋求比聖彼得堡更溫和的冬天，於 1856年他們全家先遷移到了德國的威斯巴登，然後到了法蘭克福。1860年康托爾從達姆施塔特的Realschule區中學畢業；他在數學方面的學業成績優異，尤其是三角學。1862年康托爾進入瑞士聯邦理工學院。在1863年6月他父親去世後，他繼承了豐厚的財產；康托爾將他的學業轉移到柏林大學，研習卡爾·魏爾施特拉斯、利奧波德·克羅內克和恩斯特·庫默爾的課程。1866年夏天他在哥廷根大學度過了一段時間。格奧爾格·康托爾是一個好學生，在 1867年於柏林大學獲得了博士學位。

任教及研究生涯

康托爾於1867年在柏林大學提交了關於數論的論文。在柏林女子學校短暫講授後，康托爾在哈勒大學任職並在那度過了他整個的職業生涯，在 1869年他任職時所提出的數論論文，因而取得了特許任教資格。1874年康托爾與 Vally Guttmann結婚，在他們度過哈爾茨山脈的蜜月期間，康托爾花了很多時間與理查德·戴德金討論數學，兩人結識是因他兩年前的瑞士度假時而遇到戴德金。他們育有六個孩子，1886年出生的魯道夫是他們最小的孩子。儘管他任教職的薪酬很低，但康托爾能負擔這人口眾多的家庭生計支出，要歸功於他父親的優渥遺產。康托爾在 1872年升任副教授，並在他三十四歲時(1879年)就成為教授，是一個顯著的功名；但康托爾希望在德國柏林更有聲望的領先大學中，擔任主席；然而他的研究工作成果遭遇了太多的反對，每當康托爾在柏林申請更高階的職位，他都被拒絕了。通常是因當時克羅內克有異議的關係，使其所望難以實現。所以康托爾相信因為克羅內克的反對立場，會讓他無法離開哈勒。1881年康托爾的同事愛德華海涅去世，產生了一個主席空缺。哈勒大學採納康托爾的提議，將主席此一職位依序提供給戴德金、安里西·韋伯或是弗朗茨·梅滕斯 這三位，但他們全都拒絕了；這個職位最終任命給 Friedrich Heinrich Albert Wangerin，但他從來沒有接近過康托爾。1882年康托爾和戴德金之間通信聯繫的數學關係告一段落，顯然是由於戴德金拒絕了哈勒大學的主席一職。

在 1884年5月康托爾遭受了自身抑鬱症的第一次發作。對他工作的批評讓他頭腦昏沉：他在 1884年寫給 米塔·列夫勒 的52封信，每封信中都提到克羅內克，其中一段內文揭漏了他自信心所受到的殘害：

......我不知道何時會回到崗位上繼續我的研究。此刻我無能為力，並將我自己限制在論文中最必要的責任上；如果我心智精神能有新鮮的感覺，我能比較快樂地參與學界的活動。

此後康托爾康復，隨後作出了進一步的重要貢獻，包括他的對角論證和定理。1889年康托爾成立了德國數學學會，並於 1891年在哈勒大學主持了首次會議，在那裡他首先介紹了他發明的對角線論證法；儘管克羅內克反對他的工作，但此時他的聲譽已足夠強大到確保當選，為這個學術社群的第一任主席。他最終撇開了克羅內克對他的敵意，並尋求與克羅內克的和解，康托爾邀請他在會上發言，但克羅內克卻因為妻子因當時的滑雪事故中死亡而無法出席。而即使克羅內克在 1891年 12月 29日去世之後，康托爾也再達不到其於 1874-84年發表論文的卓越水準。分裂它們的哲學分歧和困難依舊存在。康托爾在 1897年在瑞士蘇黎世舉行的第一屆國際數學家大會中也發揮了重要作用。

晚年時期

康托爾的後半生受到精神疾病的嚴重影響工作，他不得不經常入院治療。根據後來他發表的論文推測，他患的可能是躁鬱症。他曾寫了一篇驗證1000以下的歌德巴赫猜想的論文，其實幾十年前已經有人驗證到了10000。他又發表了幾篇文學方面的論文，試圖證明弗蘭西斯·培根其實是莎士比亞作品的真正作者。以及神學方面的論文，企圖證明絕對無限即是上帝。第一次世界大戰期間，他陷於赤貧狀態，最後死於哈雷大學的精神病院。

數學領域上的成就

康托爾在 1874至1884 這十年間的研究成果，是集合論的起源。在此之前追溯已往到亞里斯多德時代，數學領域中的集合，從最初就隱含地使用了相當原始的集合概念。沒有人意識到集合這個概念中，有任何未深入研討的內容。在康托爾之前的集合概念，只區分為一般人直覺上容易理解的有限集合，而所謂的「無窮」集合被認為是哲學而非數學研討的命題。康托爾證明無窮集合存在著許多可能的大小，而擴展了數學領域中對於集合概念，其真實涵義的研討。

集合論已經發揮了現代數學基礎理論的作用，因為它明確定義並解釋了，幾乎所有的傳統數學領域（如代數，分析和拓撲）中的數學物件（例如數系和函數）的命題；根據康托爾所建立起的這一套集合理論，提供了標準的公理來證明或反證它們。因此集合論的基本概念，現在被應用在整個數學領域中。在他最早的一篇論文中，康托爾證明了實數系集合和自然數集合，在大小比較上實數系要「多更多了」；這首次表明即使兩個元素都是無窮的集合，在大小上仍然會存在有不同的組合；他也是第一個理解集合論中的一對一對應關係（以下稱為「一一對應關係」）的重要性的人。他用這種概念來定義有限和無窮集合，將後者再區分為可數的（或可數無窮）以及 非可數的無窮集合。

康托爾發展了拓撲中的重要概念，其與基數的關係。例如，他表明康托爾集不是密集的，而與實數系集合一樣具有相同的基數，而有理數的集合是密集而且可數的。他還表明了線性稠密可數的、而沒有終點的序，和有理數集合是同構的。康托爾介紹了集合論的基本結構，如$A$集合的冪集，是對於$A$集合其中所有元素，各種組合而構成的一個子集。他後來證明了即使 $A$屬於無窮集合， $A$的冪集大小，也將會是嚴格大於 $A$的大小，這個結果很快就被稱為康托爾定理。康托爾發展了整套的集合論和無窮集合的算術，稱為基數和序數，它擴充了自然數的算術。他對基數的標記符號是希伯來文 $\aleph$與自然數下標；對於標示序的符號他採用了希臘字母 ω。這個符號表示法目前數學界仍在使用。

康托爾的連續統假說是 1900年巴黎數學家國際會議，大衛·希爾伯特提出23個尚無證明命題的第一個。康托爾的研究成果也吸引了其它人的關注。美國哲學家皮爾士讚揚他的集合論；而在 1897年蘇黎世舉行的第一屆國際數學家會，康托爾發表的公開講座之後，Hurwitz 和阿達馬也都表示了欽佩。在那次大會上康托爾重新與戴德金交換了友誼和信件。自 1905年起康托爾與英國翻譯家菲利普朱爾丹就集合論的歷史，和康托爾的宗教思想，進行了對談，這些對談後來集成出版為康托爾的講述作品。

數論，三角級數和序數

康托爾的前十篇論文題目是關於數論。在哈勒大學教授愛德華海涅的建議下，康托轉向分析。海涅提出了困惑著約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷、魯道夫·利普希茨、波恩哈德·黎曼和海涅自己的問題：如何呈現三角級數的建構函數的唯一性質？康托爾在 1869年解決了這個難題，而在研究這個三角級數唯一定理的時候，他發現了超限序數，出現在對於三角級數的集合S，其下標為n的第n個索引的導出集合 S_n之中。

1870 至 1872年之間康托爾發表了更多關於三角函數的論文，並且還將無理數定義為有理數的收斂序列。戴德金引用了這篇論文，並在他的論文中首次提出了戴德金切割的實數定義。即使康托爾革命性地以無限基數的概念來擴大集合概念的同時，他卻自相矛盾地反對同期數學分析學者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的無限小理論；康托爾還發表了一個錯誤的「證明」，試圖證明無窮小量的不一致性。

集合論

一個使用對角論證法證明不可數集存在性的例子。 底部的序列並不包含在上面的無窮個序列中。

一一對應和對角線證明方法

康托爾提出了通過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是「一樣大」的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在着不同的大小，他稱與實數等勢（從而不是可數無窮）的集合為不可數無窮。原始證明發表於 1874年，這個證明使用了較為複雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數數集合是可數集，以及 $n$維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又系統地研究了序數理論，提出了良序定理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關係，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。

連續統假設

參見：連續統假設

康托爾晚年致力於證明他自己提出的連續統假設，即任意實數的無窮集合或者是可數無窮或者是不可數無窮，二者必居其一，但沒有成功。

參見

• 樸素集合論
• 康托爾集合
• 康托爾定理
• 康托爾悖論
• 配對函數
• 良序定理