在數學中,柯西-利普希茨定理 (Cauchy-Lipschitz Theorem),又稱皮卡-林德勒夫定理 (Picard-Lindelöf Theorem),保證了一階常微分方程 的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西 於1820年發表,但直到1868年,才由魯道夫·利普希茨 給出確定的形式。另一個很常見的叫法是皮卡-林德勒夫定理 ,得名於數學家埃米爾·皮卡 和恩斯特·林德勒夫 。
局部定理
設E 為一個完備的有限維賦範向量空間 (即一個巴拿赫空間 ),f 為一個取值在E 上的函數:
f
:
U
×
I
⟶
E
(
x
,
t
)
⟼
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}}
其中U 為E 中的一個開集 ,I 是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
中的一個區間 。考慮以下的一階非線性 微分方程 :
d
x
(
t
)
d
t
=
f
(
x
(
t
)
,
t
)
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)}
如果f 關於t 連續,並在U 中滿足利普希茨條件 ,也就是說,
∃
κ
>
0
,
∀
t
∈
I
,
∀
x
,
y
∈
U
,
|
f
(
x
,
t
)
−
f
(
y
,
t
)
|
≤
κ
|
x
−
y
|
{\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}
那麼對於任一給定的初始條件:
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
,其中
t
0
∈
I
{\displaystyle t_{0}\in I}
、
x
0
∈
U
{\displaystyle x_{0}\in U}
,微分方程(1)存在一個解
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle (J,x(t))}
,其中
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
是一個包含
t
0
{\displaystyle t_{0}}
的區間,
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
是一個從
J
{\displaystyle J}
射到
U
{\displaystyle U}
的函數,滿足初始條件和微分方程(1)。
局部唯一性:在包含點
t
0
{\displaystyle t_{0}}
的足夠小的
J
{\displaystyle J}
區間上,微分方程(1)的解是唯一的(或者說,方程所有的解在足夠小的區間上都是重疊的)。
這個定理有點像物理學中的決定論 思想:當我們知道了一個系統的特性(微分方程)和在某一時刻系統的情況(
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
)時,下一刻的情況是唯一確定的。
局部定理的證明
一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函數遞歸序列
y
n
+
1
=
Φ
(
y
n
)
{\displaystyle y_{n+1}=\Phi (y_{n})}
,使得
Φ
′
(
y
n
)
=
f
(
y
n
,
t
)
{\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)}
,這樣,如果這個序列有一個收斂點
y
{\displaystyle y}
,那麼
y
{\displaystyle y}
為函數
Φ
{\displaystyle \Phi }
的不動點 ,這時就有
y
′
=
Φ
′
(
y
)
=
f
(
y
,
t
)
{\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)}
,於是我們構造出了一個解
y
{\displaystyle y}
。為此,我們從常數函數
y
0
(
t
)
=
x
0
{\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ }
開始。令
Φ
(
y
i
)
(
t
)
=
x
0
+
∫
t
0
t
f
(
y
i
(
s
)
,
s
)
d
s
.
{\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.}
這樣構造出來的函數列
(
y
i
)
i
≥
0
{\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}}
中的每個函數都滿足初始條件。並且由於
f
{\displaystyle f}
在
U
{\displaystyle U}
中滿足利普希茨條件 ,當區間足夠小的時候,
Φ
{\displaystyle \Phi }
成為一個收縮映射 。根據完備空間 的不動點存在定理,存在關於
Φ
{\displaystyle \Phi }
的穩定不動點,於是可知微分方程(1)的解存在。
由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個,因此在足夠小的區間內解是唯一的。
最大解定理
局部的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上,對於微分方程(1)的任意解
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle \ (J,x(t))}
、
(
J
′
,
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}
,定義一個序關係:
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle \ (J,x(t))}
小於
(
J
′
,
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}
當且僅當
J
⊂
J
′
{\displaystyle J\subset J^{\prime }}
,並且
x
′
(
t
)
{\displaystyle x^{\prime }(t)}
在
J
{\displaystyle \ J}
上的值與
x
(
t
)
{\displaystyle \ x(t)}
一樣。在這個定義之下,柯西-利普希茨定理斷言,微分方程的最大解是唯一存在的 。
證明思路
解的唯一性:假設有兩個不同的最大解,那麼由局部柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同,將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上,則會得到一個更「大」的解(只需驗證它滿足微分方程),矛盾。因此解唯一。
解的存在性:證明需要用到佐恩引理 ,構造所有解的併集。
擴展至高階常微分方程
對於一元的高階常微分方程
F
(
t
,
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
⋯
y
(
n
−
1
)
(
t
)
)
=
y
(
n
)
(
t
)
(
2
)
{\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)}
,
只需構造向量
Y
(
t
)
=
(
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
…
,
y
(
n
−
1
)
(
t
)
)
{\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))}
和相應的映射
Φ
{\displaystyle \ \Phi }
,就可以使得(2)變為
Y
′
(
t
)
=
Φ
(
Y
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)}
。這時的初始條件為
Y
(
t
0
)
=
Y
0
{\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}
,即
y
(
t
0
)
=
y
0
y
′
(
t
0
)
=
y
1
⋮
y
(
n
−
1
)
(
t
0
)
=
y
n
−
1
{\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}}
擴展至偏微分方程
對於偏微分方程 ,有柯西-利普希茨定理的擴展形式:柯西-克瓦列夫斯基定理 ,保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
參見
參考資料
相關鏈接