最大流最小割定理

最大流最小割定理是最優化理論的定理。根據該定理，在一個網絡流中，從源點到匯點的最大的流量，等於它的最小割中每一條邊的容量之和。「割」指的是一種邊的集合，如果移除這個集合的全部邊，就會斷開源點和匯點的連接。

最大流最小割定理是線性規劃中的對偶問題的一種特殊情況，並且可以用來推導門格爾定理和König–Egerváry定理。

定義

最大流和最小割定理是圖論的一部分，因此為了準確定義，我們需要先定義圖、流、割，然後再定義這個定理。

圖

設 $G=(V,E)$ 為一個有向圖，其中有一個起源點 $s$ 和一個超匯點 $t$，代表 $s$ 是所有流的源頭，$t$ 是所有流的終點。這個圖的每一條邊都有一個容量 c : E → R⁺，記做 $c_{uv}$ 或者 $c(u,v)$，代表着能通過邊 $(u,v)$ 的最大流量。

最大流

定義： 流量代表一種映射 $f:E\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$，記做$f_{uv}$ 或者 $f(u,v)$，代表通過邊 $(u,v)$ 的流量。每一條邊所通過的流有以下兩個限定條件：

1. 流量限制：$f_{uv}\leq c_{uv}\quad \forall \,(u,v)\in E.$ 也就是說，一條邊上的流量不可以超過它的容量。
2. 流量守恆：$\sum \nolimits _{\{u:(u,v)\in E\}}f_{uv}=\sum \nolimits _{\{w:(v,w)\in E\}}f_{vw}\quad \forall \,v\in V\setminus \{s,t\}.$ 也就是說，除了源點和匯點以外，進入一個節點的流量等於流出這個節點的流量，節點內不能保存流。

規定在一個圖中，流的值是

$|f|=\sum \nolimits _{v:(s,v)\in E}f_{sv}=\sum \nolimits _{v:(v,t)\in E}f_{vt}.$

也就是說，一個圖的流是自其源點流出的流量之和，也是向其匯點流入的流量之和。或者說，由源點向匯點移動多少內容，這個圖的流就是多少。

最大流問題：計算$|f|$的最大值，即從$s$到$t$的最大流量。

最小割

定義： s-t割 $C=(S,T)$ 將圖 $G$ 完全劃分為兩部分，使得 $s\in S,t\in T,$ 也就是一側有源，一側有匯。$C$ 的割集 $X_{C}$ 是 $\{(u,v)\in E\ :\ u\in S,v\in T\}.$ 也就是說，一條邊當且僅當騎在這個劃分方法上，一個節點位於劃分出來的源側，另一個位於匯側，那麼它包含在 $X_{C}$ 里。因此如果 $C$ 的割集是空集，或者我們把一個割集裡的邊全都從圖中拿走，則 $|f|=0$。通俗地說，割集就是一個圖的斷面，而割則是劃分斷面的方法。

規定在一個圖中，s-t割的容量是

$c(S,T)=\sum \nolimits _{(u,v)\in X_{C}}c_{uv}=\sum \nolimits _{(i,j)\in E}c_{ij}d_{ij},$ 其中當 $i\in S,j\in T$ 時，$d_{ij}$ 為 $1$, 否則為 $0$。

通俗地說，割的容量就是斷面中所有邊的總容量。

最小 s-t 割問題： 計算 $c(S,T)$ 的最小值。即找到一種割法，使割的容量最小。也就是說，找到通過能力最弱的斷面。

主定理

可以證明一切流都不能超過任何s-t割，所以經過圖的最大流就是圖的最小割。我們直觀上就可以知道，通過能力最弱的斷面就是整個網絡的最大流量。這個理論把最大流問題和最小割問題聯繫了起來。

線性規劃公式

最大流最小割問題可以被看做為一對線性規劃對偶問題。

	Max-flow (Primal)	Min-cut (Dual)
variables	$f_{uv}$ $\forall (u,v)\in E$ [a variable per edge]	$d_{uv}$ $\forall (u,v)\in E$ [a variable per edge] $z_{v}$ $\forall v\in V\setminus \{s,t\}$ [a variable per non-terminal node]
objective	maximize $\sum \nolimits _{v:(s,v)\in E}f_{sv}$ [max total flow from source]	minimize $\sum \nolimits _{(u,v)\in E}c_{uv}d_{uv}$ [min total capacity of edges in cut]
constraints	subject to ${\begin{aligned}f_{uv}&\leq c_{uv}&&\forall (u,v)\in E\\\sum _{u}f_{uv}-\sum _{w}f_{vw}&=0&&v\in V\setminus \{s,t\}\end{aligned}}$ [a constraint per edge and a constraint per non-terminal node]	subject to ${\begin{aligned}d_{uv}-z_{u}+z_{v}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E,u\neq s,v\neq t\\d_{sv}+z_{v}&\geq 1&&\forall (s,v)\in E,v\neq t\\d_{ut}-z_{u}&\geq 0&&\forall (u,t)\in E,u\neq s\\d_{st}&\geq 1&&{\text{if }}(s,t)\in E\end{aligned}}$ [a constraint per edge]
sign constraints	${\begin{aligned}f_{uv}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}d_{uv}&\geq 0&&\forall (u,v)\in E\\z_{v}&\in \mathbb {R} &&\forall v\in V\setminus \{s,t\}\end{aligned}}$

最大流的線性規劃公式是容易理解的，對於最小割的線性規劃公式的理解如下：

$d_{uv}={\begin{cases}1,&u\in S,v\in T\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}}$

$z_{u}={\begin{cases}1,&u\in S\\0,&{\text{Otherwise}}\end{cases}}$

最小化目標是使在割中的邊最小。

下列限制保證了這些變量可以確保一個合法的割。

• 限制 $d_{uv}-z_{u}+z_{v}\geq 0$(即 $d_{uv}\geq z_{u}-z_{v}$) 確保了對兩個非源點或匯點 u,v, 如果u 在 S中 且 v 在 T中, 那麼邊 (u,v)一定會被記在割中 ($d_{uv}\geq 1$)。
• 限制 $d_{sv}+z_{v}\geq 1$(即 $d_{sv}\geq 1-z_{v}$) 確保了如果 v 在 T 中, 那麼邊 (s,v) 一定會被記在割中。
• 限制 $d_{ut}-z_{u}\geq 0$(即 $d_{ut}\geq z_{u}$) 確保了 u 在 S 中, 那麼邊 (u,t) 一定會被記在割中。

需要注意的是，這是一個最小化問題，我們不需要確保一條邊不在割里，我們只要保證每條應當在割里的邊被計算了。

注意到在給定的 s-t 割 $C=(S,T)$ 中，如果 $i\in S$ 那麼 $z_{i}=1$ 並且 0 反之。 所以 $z_{s}$ 應該等於 1 並且 $z_{t}$ 應該等於0。由線性規劃中的強對偶定理推得最大流最小割問題中的等式，也就是說如果原問題有一個最優解 x*，則對應問題也有一個最優解 y* ，並且兩個解相等。

舉例

一個流量等於s-t 割的容量的流網絡

上圖是一個網絡，上有流量為 7 的流。令 S 集合和 T 集合分別包含所有白色和灰色的點， 從而形成了一個割集包含圖中虛線的 s-t 割，並且其容量為 7，與流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流與 s-t 割皆達到流量及容量的極值。

應用

廣義最大流最小割定理

額外規定映射 $c\colon V\rightarrow R^{+}$為點的容量，記做 c(v)，使得一個流 f 不只要滿足邊的流量限制與流量守恆，還要滿足點的流量限制，即

$\forall v\in V\setminus \{s,t\}:\qquad \sum \nolimits _{\{u\in V\mid (u,v)\in E\}}f_{uv}\leq c(v).$

換句話說，流過 v 點的總流量不能超過 v 的容量 c(v)。一個 s-t 割 的定義為一個包含一些點和邊的集合，滿足與任一條由 s 到 t 的路徑皆不互斥。並且 s-t 割的容量 定義成所有點和邊的容量總和。

在此定義之下，廣義最大流最小割定理的敘仍為流量的最大值等於所有 s-t 割的容量最小值。

門格爾定理

參見：門格爾定理

不共邊路徑問題為給定無向圖 $G=(V,E)$ 及兩頂點 s、t，求從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值。

門格爾定理的敘述為從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值等於在所有 G 的 s-t 割(以原本的定義)中，頂點分別在不同集合的邊數的最小值。

計畫選擇問題

參見：最大流問題

計畫選擇問題的網絡型態

計畫選擇問題敘述如下：當下有 n 個計畫 $p_{1},\dots ,p_{n}$可以被實施、m 種設備 $q_{1},\dots ,q_{m}$ 可以被購買，要執行計畫必須擁有該計畫要求的設備，執行計畫 $p_{i}$可獲得 $r(p_{i})$ 的收益，但購買設備 $q_{j}$ 要支付 $c(q_{j})$ 的費用。如何選擇執行計畫並購買所需設備以獲得淨利的最大值？

設 P 為不被執行的計畫的集合，Q 為所購買的設備，則問題變成求最大值

$\max _{P,Q}\sum _{i=1}^{n}r(p_{i})-\sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})-\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})$

注意到 ${\textstyle \sum _{i}r(p_{i})}$與 P、Q 的選擇無關，故只需求後兩項和的最小值，即

$\min _{P,Q}\sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})+\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})$

現在考慮一個網絡，起源點 s 連接到 n 個點 $p_{1},\dots ,p_{n}$，邊的容量分別為 $r(p_{i})$，超匯點 t 連接到 m 個點 $q_{1},\dots ,q_{m}$，邊的容量分別為 $c(q_{j})$，若執行任務 $p_{i}$需購買設備 $q_{j}$ ，則在 $p_{i}$、$q_{j}$ 之間連上一條容量為無限大的邊，若不需購買設備，則不連上邊。則 ${\textstyle \sum _{p_{i}\in P}r(p_{i})+\sum _{q_{j}\in Q}c(q_{j})}$ 對應到一個 s-t 割的容量，其中的兩個集合是要執行的計畫與要購買的設備和它的餘集，也就是

$\{s\}\cup (P'\setminus P)\cup Q{\text{、 }}\{t\}\cup P\cup (Q'\setminus Q)$

在此，$P'=\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$，$Q'=\{q_{1},\dots ,q_{m}\}$。於是，原問題轉成求該圖的最大流問題，並且可以藉由各種算法求得其極值。

以下給出一個計畫選擇問題的例子，右圖是該問題對應到的網絡。

	計畫收入 r(pi)	設備價格 c(qj)	備註
1	100	200	執行計畫 p1 須購買設備 q1、q2。
2	200	100	執行計畫 p2 須購買設備 q2。
3	150	50	執行計畫 p3 須購買設備 q3。

該網絡的最小 s-t 割是選擇計畫 p₂、p₃ 與設備 q₂、q₃，容量為 250。三個計劃的總收益是 450，因此最大淨利為 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解為將計畫所給予的收益流過所需設備，如果無法流滿設備至 t 的邊，代表執行計畫不合成本，最小割將選擇穿過 s 到計畫的邊而非穿過設備到 t 的邊。

影像分割問題

Each black node denotes a pixel.

設原圖有 n 像素，想要把該圖分割為前景和背景，並且將 i 像素歸類為前景有效益  f_i，歸類為背景有效益  b_i，但是若 i、j 像素相鄰且被歸類為不同塊，則會減少 p_ij 的效益。求將該圖分割為前後景的最有效益方法。

令 P 為前景的集合，Q 為背景的集合，於是問題轉化成求最大值

$\max _{P,Q}\sum _{i\in P}f_{i}+\sum _{i\in Q}b_{i}-\sum _{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p_{ij}$

因為  f_i、 b_i 的總合是與 P、Q的選取無關，因此等價於求以下最小值

$\min _{P,Q}\sum _{i\in Q}f_{i}+\sum _{i\in P}b_{i}+\sum _{i\in P,j\in Q\lor j\in P,i\in Q}p_{ij}$

以上的最小值問題可以被描述為一個網絡的最小割問題，其中該網絡如右圖，以橘點為起源點；紫點為超匯點。各個像素被描述為網絡的頂點，起源點至第 i 個像素連上一條容量為  f_i 的有向邊；第 i 個像素至超匯點連上一條容量為 b_i 的有向邊。相鄰的像素 i、j 之間連上來回兩條容量為 p_ij 的有向邊。則一個 s-t 割代表一種將部分像素歸類為前景 P、其餘歸類為背景 Q 的安排。

歷史

最大流最小割問題最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 證明， 並且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年證明了該定理。

證明

同之前的設定，G = (V, E) 是一個網絡(有向圖) ，s 點和 t 點分別為 G 的起源點和超匯點。

將所有流考慮成一個歐式空間的有界閉子集，滿足流量限制與流量守恆，而流量是一個連續函數，因此有極大值 |f| 。

設 f 達到最大流，令 (G_f ) 是 f 的殘留網絡，定義

1. A：在 (G_f ) 中可以從 s 出發到達的點
2. A^c：A 以外的點，即 V − A

換句話說，v∈A 若且唯若 s 可以流出更多流量到 v。

我們宣稱 $|f|=c(A,A^{c})$，其中該 s-t 割的容量定義為

$c(S,T)=\sum \nolimits _{(u,v)\in (S\times T)\cap E}c_{uv}$.

由於 $|f|$ 的大小等於所有流出集合 A 的流量總和減所有流入集合 A 的流量總和，故 $|f|\leq c(A,A^{c})$，並且等號成立若且唯若

• 所有從 A 流向 A^c 的邊流量均已達飽和。
• 所有從 A^c 流向 A 的邊流量均為 0。

我們用反證法分別證明以上兩點：

• 假設存在從 A 流向 A^c 的邊 $(x,y)\in A\times A^{c}$ 並未達到飽和，即 $f(x,y)<c_{xy}$。因此，可以從 x 流更多的流量到 y，(x,y) 是 G_f 的一條邊。由 x∈A 知 G_f 圖中有一條中的路徑從 s 到 x，其中只經過 A 中的點， 所以 y∈A，產生矛盾。是故所有從 A 流向 A^c 的邊流量均已達飽和。
• 假設存在從 A^c 流向 A 的邊 $(y,x)\in A^{c}\times A$ 其流量不為 0，即 $f(x,y)>0$。因此，可以從 y 流更少的流量到 x，(x,y) 是 G_f 的一條邊。由 x∈A 知 G_f 圖中有一條中的路徑從 s 到 x，其中只經過 A 中的點， 所以 y∈A，產生矛盾。是故所有從 A^c 流向 A 的邊流量均為 0。

於是，聲稱得證。

由於流量恆不超過容量，|f| 是容量的下界，所以 $c(A,A^{c})$ 是容量的最小值，由聲稱知，最大流最小割定理得證。

參見

• 線性規劃
• 最大流
• 最小割
• 網絡流
• Edmonds–Karp 算法
• Ford–Fulkerson 算法
• 近似最大流最小割定理

參考文獻

• Eugene Lawler. 4.5. Combinatorial Implications of Max-Flow Min-Cut Theorem, 4.6. Linear Programming Interpretation of Max-Flow Min-Cut Theorem. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Dover. 2001: 117–120. ISBN 0-486-41453-1. 
• Christos H. Papadimitriou, Kenneth Steiglitz. 6.1 The Max-Flow, Min-Cut Theorem. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Dover. 1998: 120–128. ISBN 0-486-40258-4. 
• Vijay V. Vazirani. 12. Introduction to LP-Duality. Approximation Algorithms. Springer. 2004: 93–100. ISBN 3-540-65367-8.