跳至內容

曲面的systole

維基百科,自由的百科全書

數學上,曲面上的曲線的systolic不等式,最初是查爾斯·婁威納在1949年研究(未發表,見蒲保明1952年的論文末尾的註解。給定一個閉曲面,其systole記為sys,定義為曲面上不能縮成一點的環路的最短長度。一個度量的systolic面積,定義為比例area/sys2systolic比SR是其倒數sys2/area。

環面

環面上最短的環路

1949年婁威納證明了環面T2上的度量的不等式,即是其systolic比SR(T2) 有上界,於環面為平坦(常曲率)的等邊環面時等號成立。

實射影平面

蒲保明於1952年給出對實射影平面的類似結果,是為蒲氏不等式,證明其systolic比SR(RP2)有上界π/2,也是在常曲率時達到上界。

克萊因瓶

手工吹製的模擬克萊因瓶

對於克萊因瓶K,Bavard(1986)獲得了systolic比的最佳上界

使用了Blatter在1960年代的工作。

虧格2

虧格2的可定向曲面適合婁威納的上界(Katz-Sabourau '06)。現在尚未知道正虧格的曲面是否都適合此上界,有猜想指這些曲面都適合。在虧格不小於20時已得到證明(Katz-Sabourau '05)。

任意虧格

對虧格g的閉曲面,Hebda和Burago(1980)證明了systolic比SR(g)有上界2。三年後米哈伊爾·格羅莫夫找到SR(g)的一個上界, 是一個常數乘以

一個「較小」的界(帶一個較小的常數)由Buser和Sarnak給出。他們證明了算術雙曲黎曼曲面的systole表現為一個常數乘以。注意從高斯-博內定理給出面積是4π(g-1),所以SR(g)漸近表現為一個常數乘以

參見

參考