映射度

在拓撲學中，兩個同維數流形之間的連續映射的度數（degree）非正式地說是一個點被蓋住的次數。一個映射的度數可用同調群，或（對光滑映射）正則值的原像定義。它是卷繞數的一個推廣。例如，考慮複平面上映射 zⁿ，視為 S² 到自身的映射，具有度數 n，它將球面繞自身纏了 n 圈。

在物理學中，連續映射的度數，比如從空間到有序參數集的一個映射，是拓撲量子數的一個例子。

從一個圓周到自身

最簡單也最重要的例子是從圓周到自身一個連續映射的度數（這稱為卷繞數）：

$f\colon S^{1}\to S^{1}.\,$

存在投影：

$\mathbb {R} \to S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \,$, $x\mapsto [x],$

這裡 [x] 是 x 模 1 等價類（即 $x\sim y$ 當且僅當 $x-y$ 是整數）。

如果

$f:S^{1}\to S^{1}\,$

連續則存在一個連續映射

$F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

稱為 f 到 $\mathbb {R}$ 的提升，使得 f([z]) = [F(z)]。這樣一個提升在差一個整數相加下惟一確定，且

$\deg(f)=F(x+1)-F(x).\,$

注意到

$F(x+1)-F(x)\,$

是一個整數且關於 $x$ 也連續；實數線上局部常值函數一定是常數。從而此定義與 $x$ 的選擇無關。

流形之間

代數拓撲

設 X 與 Y 是一個閉連通定向 m-維流形。流形的定向性蘊含最高階同調群同構於 Z。選取一個定向意味着選取最高階同調群的一個生成元。

一個連續映射 f : X→Y 誘導從 H_m(X) 到 H_m(Y) 的同態 f_*。設 [X] 是選定的 H_m(X) 的生成元，或言 X 基本類。則 f 的度數定義為f_*([X])。換句話說，

$f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.$

如果 y 屬於 Y 且 f^-1(y) 是一個有限集合，f 的度數可以通過考慮 X 在 f^-1(y) 每個點的 m-階局部同調群計算出來。

微分拓撲

在微分拓撲的語言中，一個連續映射的度數可如下定義：如果 f 是一個連續映射，定義域是一個緊流形，設 p 是 f 的一個正則值，考慮有限集合

$f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},..,x_{n}\}\,.$

由 p 是一個正則值，在每個 x_i 的一個鄰域中映射 f 是局部微分同胚（這是一個覆蓋映射）。微分同胚可以為保持定向或反定向。設 r 是 x_i 中 f 保持定向的個數，而 s 是反定向的個數。當 f 的定義域是連通的，數 r - s 與 p 的選取無關，我們定義 f 的度數為 r - s。這個定義與上一節代數拓撲定義重合。

同樣的定義對帶邊界的緊流形也成立，但此時 f 需將 X 的邊界送到 Y 的邊界。

我們也可以像上面一樣類似定義模 2 度數 (deg₂(f))，取 Z₂ 同調中的基本類即可。在此情形 deg₂(f) 是 Z₂ 中一個元素，流形不要求可定向。與上類似，如果 n 是 p 原像的個數，則 deg₂(f) 是 n 模 2。

微分形式的積分給出 （C^∞-）奇異同調與德拉姆上同調之間的一個配對：<[c], [ω]> = ∫_cω，這裡 [c] 是由圈 c 代表的同調類，ω 是代表一個德拉姆上同調類的一個閉形式。對定向 m-維流形之間的一個連續映射 f : X→Y，我們有

$\langle f_{*}[c],[\omega ]\rangle =\langle [c],f^{*}[\omega ]\rangle ,$

這裡 f_* 與 f* 分別是在鏈與形式上的誘導映射。因為 f_*[X] = deg f · [Y]，我們有

$\deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,$

對任意 Y 上 m-形式 ω。

性質

從球面到自身度數為 2 的一個映射。

映射度是同倫不變量；而且從球面到自身的連續映射是完全同倫不變量，即兩個映射 $f,g:S^{n}\to S^{n}\,$ 同倫當且僅當 $\deg(f)=\deg(g)$。

換句話說，度數是一個同構 $[S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}\to \mathbf {Z}$。

相關條目

• 拓撲度數理論

參考文獻

• Flanders, H. Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. 1989. 
• Hirsch, M. Differential topology. Springer-Verlag. 1976. ISBN 0-387-90148-5.