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旋量群

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群論


數學中,旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆疊,使得存在李群短正合列

n > 2, Spin(n) 單連通,從而是 SO(n) 的萬有覆疊空間。作為李群 Spin(n) 及其李代數和特殊正交群 SO(n) 有相同的維數 n(n − 1)/2。

Spin(n) 可以構造為克利福德代數 Cℓ(n) 可逆元群的一個子群。Spin(n) 由所有寫成個偶數個單位向量的克利福德乘積的元素生成。對應到 SO(n) 中恰是沿着垂直於這偶數個向量的超平面反射的複合。

巧合同構

維數比較低時,典型李群之間存在同構,稱為「巧合同構」。例如,低維旋量群和一定的典型李群同構,這是因為不同的低維單李代數根系之間存在同構。特別的我們有:

Spin(1) = O(1) = Z2
Spin(2) = U(1) = SO(2) = S1
Spin(3) = Sp(1) = SU(2) = HU(1) = S3
Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)
Spin(5) = Sp(2) = HU(2)
Spin(6) = SU(4)

n = 7,8 仍然有退化的同構,細節可參見 Spin(8);對更高的維數,這樣的同構完全消失。

不定符號差

對於不定符號差英語Metric signature,旋量群 Spin(p,q) 通過克利福德代數用類似於標準旋量群的方式構造,由能寫成偶數個模+1和偶數個模-1單位向量的克利福德乘積的元素生成。它是一個 SO0(p,q)(不定正交群 SO(p,q) 含單位元連通分支)的連通二重覆疊。Spin(p,q) 的連通性不同作者有不同的約定,此文中取 p+q>2 時連通。不定符號低維時,也有一些巧合同構:

Spin(1,1) = GL(1,R)
Spin(2,1) = SL(2,R)
Spin(3,1) = SL(2,C)
Spin(2,2) = SL(2,R) × SL(2,R)
Spin(4,1) = Sp(1,1)
Spin(3,2) = Sp(4,R)
Spin(5,1) = SL(2,H)
Spin(4,2) = SU(2,2)
Spin(3,3) = SL(4,R)

注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。

拓撲

連通單連通的李群由它們的李代數決定。所以,如果 G 是具有單李代數的連通李群,G′ 是 G 的萬有覆疊,有包含

這裡 Z(G′) 是 G中心。這個包含映射和 G 的李代數 完全確定了 G (注意 不能完全確定 G,例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代數和基本群 ,但卻不同構)。

定符號 Spin(n) 對 n > 2 都是單連通的,所以它們是 SO(n) 的萬有覆疊。不定符號時,Spin(p,q) 的極大緊子群

這樣我們就可計算出 Spin(p,q) 的基本群:

,這意味着映射 映到 給出; 對 p=2,q>2,映射由 ;最後,對 p = q = 2, 映到 映到

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參考文獻