斯奎斯數

在數論中，斯奎斯數（英語：Skewes' number）是指南非數學家斯坦利·斯奎斯（英語：Stanley Skewes）（Stanley Skewes）用以表示滿足下式之最小自然數x的上界的極大數字。

\pi (x)>\operatorname {li} (x)

，其中 $\pi$ 表示素數計數函數， $li$ 則表示對數積分。經過數學家對這一上界的不斷改進，目前發現在 $e^{727.95133}$ 附近有滿足上式的自然數，不過仍不清楚這是否是最小的斯奎斯數。

大小

約翰·恩瑟·李特爾伍德於1914年證明確實存在斯奎斯數，而且還進一步證明了 $\pi (x)$ 和 ${li}(x)$ 兩個函數會交叉無數次，也就是有無窮個交叉點。然而不管代入什麼數字， $\pi (x)$ 都小於 ${li}(x)$ ，因此，可以知道x一定是比人們所能計算的數字都來得大的。

斯奎斯於1933年證明了其中一個上界（需要黎曼假設），又被稱作第一斯奎斯數：

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}

（左為準確值，右為近似值）

斯奎斯又於1955年證明了另外一個上界（不需要黎曼假設），又被稱作第二斯奎斯數：

e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}

（左為準確值，右為近似值）

斯奎斯給出了具體的上界，以表明李特爾伍德說的斯奎斯數究竟有多大。雖然斯奎斯數比其他日常生活及數學證明中出現的大多數數字都來得大，但這個數仍然遠遠小於葛立恆數。

參見

素數定理

參考文獻

Bays, C.; Hudson, R. H., A new bound for the smallest x with π(x) > li(x) (PDF), Mathematics of Computation, 2000, 69 (231): 1285–1296 [2012-09-09], MR 1752093, （原始內容存檔 (PDF)於2008-09-11）
Brent, R. P., Irregularities in the distribution of primes and twin primes, Mathematics of Computation, 1975, 29 (129): 43–56, JSTOR 2005460, MR 0369287, doi:10.2307/2005460
Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger, A new bound for the smallest x with $π(x) > li(x)$ , International Journal of Number Theory, 2005, 6 (03): 681–690, MR 2652902, arXiv:math/0509312 , doi:10.1142/S1793042110003125
Kotnik, T., The prime-counting function and its analytic approximations, Advances in Computational Mathematics, 2008, 29 (1): 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2
Lehman, R. Sherman, On the difference π(x) − li(x), Acta Arithmetica, 1966, 11: 397–410, MR 0202686
Littlewood, J. E., Sur la distribution des nombres premiers, Comptes Rendus, 1914, 158: 1869–1872
Skewes, S., On the difference π(x) − Li(x), Journal of the London Mathematical Society, 1933, 8: 277–283
Skewes, S., On the difference π(x) − Li(x) (II), Proceedings of the London Mathematical Society, 1955, 5: 48–70, MR 0067145
te Riele, H. J. J., On the sign of the difference π(x) − Li(x), Mathematics of Computation, 1987, 48 (177): 323–328, JSTOR 2007893, MR 0866118
Rosser, J. B.; Schoenfeld, L., Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois Journal of Mathematics, 1962, 6: 64–94, MR 0137689
Saouter, Yannick; Demichel, Patrick, A sharp region where $π(x) - li(x)$ is positive, Mathematics of Computation, 2010, 79 (272): 2395–2405, MR 2684372, doi:10.1090/S0025-5718-10-02351-3
Zegowitz, Stefanie, On the positive region of $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ : 69 pp., 2010
Rubinstein, M.; Sarnak, P., Chebyshev's bias, Experimental Mathematics, 1994, 3 (3): 173–197, MR 1329368
Wintner, A., On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1941, 63 (2): 233–248, JSTOR 2371519, MR 0004255, doi:10.2307/2371519