數學與想象
| 數學與想象 | |
|---|---|
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| 作者 | 愛德華·卡斯納, 詹姆士·R·紐曼 |
| 語言 | 英語 |
| 主題 | 數學 |
| 發行資訊 | |
| 插圖 | 魯弗斯·艾薩克斯 |
| 出版機構 | 西蒙與舒斯特 |
| 出版時間 | 1940 |
| 出版地點 | 美國 |
| 媒介 | 印刷 |
| 頁數 | 380頁 |
| 規範控制 | |
| ISBN | 978-0671208547 |
| OCLC | 525772 |
《數學與想象》是1940年由西蒙與舒斯特於紐約出版的書籍，作者是愛德華·卡斯納與詹姆士·R·紐曼。插畫作者魯弗斯·艾薩克斯為它提供了169幅圖片。該書很快成為一部暢銷書，並收穫了不少讚譽，尤其因引入了古戈爾（英語：googol）表示10100和古戈爾普勒克斯（英語：googolplex）表示1010100而聞名。全書共9節，另包含一個帶注釋的參考書目（共45條）和一個目錄。
評價
I·伯納德·科恩表示，「它是我們現代數學的最佳記錄」，並且「寫作風格優雅，在清晰的闡述中不失幽默感」。[1] T·A·瑞安（英語：T. A. Ryan）則在評論中指出，這本書「並不像大家對它作為一本流行圖書的預期那樣膚淺，例如，古戈爾的發明是一種嚴肅的嘗試，顯示出『無限』被用來形容巨大但有限的數時的錯誤性。」[2] 截至1941年，G.沃爾多·鄧寧頓已經注意到本書的暢銷：「顯然，它已成功地向外行人傳達了富有創造性的數學家在解決難題時所遇到的樂趣。」[3]
內容
在引言（xiii頁）中，作者們寫道：「科學，特別是數學，……似乎正在一個其他所有東西都要崩潰或被炸成碎片的時代建立起一個永久且穩定的大廈。」他們斷言（xiv頁）：「我們的目標是……通過它的多樣性來展示數學的特徵，展示其大膽、無拘無束的精神，以及作為一門藝術和科學，是如何引領富有創造力的才能去超越想象和直覺。」
在第一節「為舊物賦新名」（英語：New names for old）中，作者們解釋了為什麼數學是「用簡單的詞彙表達複雜的思想的科學」，他們注意到（第5頁）「很多有趣的模糊性正在出現。例如，函數[註 1]一詞表示的可能是數學史上最重要的一個概念。此外，環是比群更近的一種理論，它出現在大部分關於代數的新書上，而與婚姻和鈴鐺無關。」第七頁介紹了若爾當曲線定理。在討論阿波羅尼奧斯問題時，作者們提到了埃德蒙·拉蓋爾的解決方案，他把圓看作是有方向的。（第13頁）談及根號時，他們說，「激進派的標誌不是錘子和鐮刀，而是一個有三四個世紀歷史的符號，而數學中開根的概念甚至比那更早。[註 2]（第16頁）隨即提到了阿貝爾-魯菲尼定理：「魯菲尼和阿貝爾證明，五次及以上的方程沒有根式解。」（第17頁）
第二節「超越古戈爾」（英語：Beyond Googol）論述無限集合。作者們區分了可數集和不可數集。更進一步地，作者們給出了無限集的特徵性質：無限集可以與它的某些子集1：1對應（第57頁），所以「無限集並不比它的某些部分更大」。（第43頁）在介紹阿列夫數之餘，作者引用了路易斯·卡羅的《獵蛇鯊記》。該詩提到在狩獵蛇鯊時要避開「Boojum」，而作者們則說，「無窮大也許也是Boojum」。（第61頁）
第三節是「Pie（π, i, e）的超越與虛構」（英語：Pie (π, i, e) Transcendental and Imaginary）。為了形象地解釋e (數學常數)，它們先後討論了複利和連續複利。「沒有其他任何一個數學常數，包括π，與人類的事務聯繫得如此緊密。」（第86頁）「e在幫助數學家描述和預測對人類而言最重要的自然現象——增長的過程中發揮了不可或缺的作用。」指數函數，y = ex ，「是唯一一個x處的函數值與變化率相同的函數」。（第87頁）作者又定義了複平面，並描述乘以i的過程相當於在複平面上旋轉90°。他們談到了歐拉恆等式，即eπ i + 1 = 0，並指出可敬的本傑明·皮爾斯稱其是「完全荒謬」的。作者隨後以理想主義的語調寫道：「當謙卑和遠見遍布世界各地時，社會就會受到科學而不是聰明人的支配。」（第103-104頁）
第四節是「各種幾何，平面與幻想」（英語：Assorted Geometries, Plane and Fancy）。非歐幾何和四維空間都在此節被討論到。作者們說（第112頁）：「在我們最珍視的信念中，沒有一個比我們對空間和時間的信念更加珍貴，或者更加難以解釋。」
在結語中，作者探討了這樣一個問題：「什麼是數學？」他們說，「聰明比清楚容易」是一個令人沮喪的事實。這個問題的答案並不像定義生物學那麼簡單。「數學讓我們擁有了一門通用的語言，在任何時空下都同樣有效、有用且可理解……」最後，「即使是嚴肅而專橫的邏輯，仍然足夠敏感和靈活，來滿足我們的需要。宏偉的大廈建在最簡單、最原始的地基上，而這地基是由一些孩子氣的規則中的想象和邏輯來鍛造的。」（第358頁）