收斂半徑 是數學分析 中與冪級數 有關的概念。一個冪級數 的收斂半徑 是一個非負的擴展實數 （包括無窮大 ）。收斂半徑表示冪級數收斂的範圍。在收斂半徑內的緊集上，冪級數對應的函數 一致收斂 ，並且冪級數 就是此函數展開得到的泰勒級數 。但是，在收斂半徑上冪級數的斂散性是不確定的。
定義冪級數f 為：
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
a
)
n
,
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},}
a 是收斂圓盤 的中心，c n n 個複 係數，z 為變量。
收斂半徑 r 是一個非負的實數或無窮大（
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
|
z
−
a
|
<
r
{\displaystyle |z-a|<r}
|
z
−
a
|
>
r
{\displaystyle |z-a|>r}
具體來說，當z 和a 足夠接近時，冪級數就會收斂，反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在 |z - a | = r 的收斂圓上，冪級數的斂散性是不確定的：對某些z 可能收斂，對其它的則發散。如果冪級數對所有複數z 都收斂，那麼說收斂半徑是無窮大。
根據達朗貝爾審斂法 ，收斂半徑
R
{\displaystyle R}
∑
c
n
z
n
{\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}
lim
n
→
∞
|
c
n
+
1
c
n
|
=
ρ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\vert {c_{n+1} \over c_{n}}\right\vert =\rho }
ρ
≠
0
{\displaystyle \rho \neq 0}
R
=
1
ρ
{\displaystyle R={1 \over \rho }}
ρ
=
0
{\displaystyle \rho =0}
R
=
+
∞
{\displaystyle R=+\infty }
ρ
=
+
∞
{\displaystyle \rho =+\infty }
R
=
0
{\displaystyle R=0}
根據根值審斂法 ，則有柯西-阿達馬公式 ：
R
=
lim inf
n
→
∞
|
c
n
|
−
1
n
{\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}
或者
1
R
=
lim sup
n
→
∞
|
c
n
|
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}
將一個收斂半徑是正數的冪級數的變量取為複數，就可以定義一個全純函數 。收斂半徑可以被如下定理刻畫：
一個中心為a 的冪級數f 的收斂半徑R 等於a 與離a 最近的冪級數無定義點的距離。到a 的距離嚴格小於R 的所有點組成的集合稱為收斂圓盤 。 最近點的取法是在整個複平面中，而不僅僅是在實軸上，即使中心和係數都是實數時也是如此。例如：函數
f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}
沒有復根。它在零處的泰勒展開為：
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}}
運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為1。與此相應的，函數
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
三角函數中的反正切函數可以被表達成冪級數：
arctan
(
z
)
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
.
{\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .}
運用審斂法可以知道收斂半徑為1。
考慮如下冪級數展開：
z
e
z
−
1
=
∑
n
=
0
∞
B
n
n
!
z
n
{\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}}
其中有理數B n 伯努利數 。對於上述冪級數，很難運用審斂法來計算收斂半徑，但運用上面提到的復域中的準則就可以很快得到結果：當z =0時，函數沒有奇性，因為是可去奇點 。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值，即使得
e
z
−
1
=
0
{\displaystyle e^{z}-1=0}
的複數z 。設z = x + iy ，那麼
e
z
=
e
x
e
i
y
=
e
x
(
cos
(
y
)
+
i
sin
(
y
)
)
,
{\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,}
要使之等於1，則虛部必須為零。於是有
y
=
k
π
{\displaystyle y=k\pi }
k
∈
Z
,
k
≠
0
{\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
k
{\displaystyle k}
z 為
2
k
π
i
{\displaystyle 2k\pi i}
k
∈
Z
,
k
≠
0
{\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0}
離原點最近距離為
2
π
{\displaystyle 2\pi }
2
π
{\displaystyle 2\pi }
如果冪級數在a 附近可展，並且收斂半徑為r ，那麼所有滿足 |z − a | = r 的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓 。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂 。
z ) = (1 − z )−1 在z = 0處展開的冪級數收斂半徑為1，並在收斂圓上的所有點處發散。
例2:函數g (z ) = ln(1 − z )在z = 0處展開的冪級數收斂半徑為1，在z = 1處發散但除此之外，在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函數ƒ(z )是 -g (z )的復導數 。
例3:冪級數
∑
n
=
1
∞
1
n
2
z
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}
的收斂半徑是1並在整個收斂圓上收斂。設h (z )是這個級數對應的函數，那麼h (z )是例2中的g (z )除以z 後的導數。h (z )是雙對數 函數。
例4:冪級數
P
(
z
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
⋅
n
(
z
2
n
−
1
+
⋯
+
z
2
n
−
1
)
{\displaystyle P(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}\cdot n}}(z^{2^{n-1}}+\cdots +z^{2^{n}-1})}
的收斂半徑是1並在整個收斂圓上一致收斂 ，但是並不在收斂圓上絕對收斂[ 1]
將下列函數在x = 0處展開：
f
(
x
)
=
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
⋯
∀
x
{\displaystyle f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ \forall x}
可以看到收斂半徑為
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
x = 1時，要得到相同的精確度，就要計算前5項。對於ƒ(10)，需要18項，對於ƒ(100)則需要141項。
文中提及的曲線的圖例：紅、藍線為逼近線，白圈為收斂圓。 可以看出，越靠近中心，收斂的速度就越快，反之則收斂速率降低。
考慮亞純函數
f
(
z
)
=
1
1
+
z
2
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}
模長 二元函數圖像見右。函數在
z
=
±
i
{\displaystyle z=\pm i}
極點 。
由於最近的奇點與原點距離為1，收斂半徑為1。函數在z = 0處的泰勒級數 收斂當且僅當
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
與收斂半徑類似的一個概念是狄利克雷級數 的收斂度規 ，也就是使得級數
∑
n
=
1
∞
a
n
n
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}}
s ，其只依賴於數列a n
^ Sierpiński, Wacław , O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka 29 , 1918, 29 : 263–266
Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6 Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8 幂级数 . [2008-09-10 ] . （原始內容 存檔於2008-11-21）. 毕节学院复变函数教程 . [2008-09-10 ] . [永久失效連結
