拓撲流形

在數學中，拓撲流形（ topological manifold ）是一個「局部上看起來像是 $\mathbb {R} ^{n}$ 」的拓樸空間，是微分幾何的主要研究對象。所有其他類型的流形（ manifolds ）都是帶有額結構的拓撲流形。例如可微流形是一個帶有額外的「微分結構」的拓撲流形；而光滑流形則要求這個「微分結構」要是無窮可微的。

形式定義

一個 $n$ 維拓撲流形（或簡稱流形）是一個拓撲空間 $M$ ，滿足以下性質：

1. $M$ 是豪斯多夫空間。
2. $M$ 是第二可數空間。
3. 對於每個 $M$ 中的點，找的到一個該點的鄰域 $U$ ，使得 $U$ 和 $\mathbb {R} ^{n}$ 同胚。

範例

• 連續函數的圖形。
• $n$ 維的球體。
• $n$ 維射影空間。
• 環面

範例

$n$ 維流形

• $n$ 維歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 是一個 $n$ 維拓撲流形。
• 離散空間是一個 $0$ 維拓撲流形。
• 圓形是一個緊緻的 $1$ 維拓撲流形。
• 環面和克萊因瓶是緊緻的 $2$ 維拓撲流形。
• $n$ 維的球面是一個緊緻的 $n$ 維流形。
• $n$ 維的環面是一個緊緻的 $n$ 維流形。

Projective manifolds

• Projective spaces over the reals, complexes, or quaternions are compact manifolds.
  • Real projective space RPⁿ is a n-dimensional manifold.
  • Complex projective space CPⁿ is a 2n-dimensional manifold.
  • Quaternionic projective space HPⁿ is a 4n-dimensional manifold.
• Manifolds related to projective space include Grassmannians, flag manifolds, and Stiefel manifolds.

Other manifolds

• Differentiable manifolds are a class of topological manifolds equipped with a differential structure.
• Lens spaces are a class of differentiable manifolds that are quotients of odd-dimensional spheres.
• Lie groups are a class of differentiable manifolds equipped with a compatible group structure.
• The E8 manifold is a topological manifold which cannot be given a differentiable structure.

參考文獻

引用

書籍

• （英文）Lee, John M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer New York. 2012.