拓撲學家正弦曲線

拓撲學中，拓撲學家正弦曲線或華沙正弦曲線是一個拓撲空間，具有一些有趣的特性，使其成為教科書中的一個重要例子。

它可以定義為函數sin(1/x)在半開區間(0, 1]上連通原點在歐氏平面拓撲下的函數圖形：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle T = \left\{ \left( x, \sin \tfrac{1}{x} \right ) : x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\}. }

性質

拓撲學家正弦曲線T是連通的，但不是局部連通也不是路徑連通。這是因為它包含原點，但卻無法將函數與原點連接為路徑。

空間T是局部緊空間的連續像（即設V為空間{−1} ∪ (0, 1]，並使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))（x > 0）定義的映射 $f:\ V\to T$ ），而T本身不是局部緊的。

T的拓撲維數為1。

變體

拓撲學家正弦曲線有2種有趣的變體，具有其它有趣的性質。

閉拓撲學家正弦曲線可通過拓撲學家正弦曲線添加極限點集 $\{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}$ 得到。有文獻將拓撲學家正弦曲線本身定義為這個版本，因為他們更喜歡用「閉拓撲學家正弦曲線」指另一條曲線。^[1]據海涅-博雷爾定理，這是閉有界緊空間，但與拓撲學家正弦曲線有相似的性質：它也是連通的，但既不是局部連通，也不是路徑連通。